MMATH
התחברות

וידאו · מספרים מרוכבים

ג1. בעיות משולבות במספרים מרוכבים שילוב עם הגדרות ומשוואה טריגונומטרית

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
15 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב6. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב7. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב8. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב9. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ג1. בעיות משולבות במספרים מרוכבים שילוב עם הגדרות ומשוואה טריגונומטרית

וידאו

ג2. בעיות משולבות במספרים מרוכבים בעיית הוכחה

וידאו

ג3. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

וידאו

ג4. מיקום מספרים מרוכבים על מעגל היחידה

וידאו

ג5. פתרון תרגיל שמשלב מרוכבים עם גיאומטריה

וידאו

ג6. פתרון תרגיל מיוחד שמשלב הוכחה גיאומטרית קשה במספרים מרוכבים

וידאו

ג7. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

וידאו

ד1. פתרון תרגיל שמשלב מרוכבים עם גיאומטריה טריגונומטריה ווקטורים חשוב ביותר

וידאו

ד2. פיתוח נוסחת שטח חשובה והמשך פיתרון התרגיל

וידאו

ד3. פיתוח קשר מדהים בין רדיוס חוסם משולש לרדיוס חסום במשולש וזוויות המשולש

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד בפתרון בעיות המשלבות הגדרת גודל של מספרים מרוכבים, חוק דמו-אוור, זיהוי חלקים ממשיים ומדומים, ועבודה עם זהויות טריגונומטריות לפתרון משוואות.
  • להכיר את הגדרת הגודל של מספר מרוכב
  • להשתמש בחוק דמו-אוור בחשבון עם מספרים מרוכבים
  • לזהות את החלק הממשי והמדומה במספר מרוכב בצורת טריגונומטרית
  • ליישם זהויות טריגונומטריות לפישוט משוואות
  • לפתור משוואות טריגונומטריות הנובעות מבעיות מספרים מרוכבים
  • הגדרת גודל של מספר מרוכב: הגודל r של מספר מרוכב הוא השורש הריבועי של סכום ריבועי החלק הממשי והחלק המדומה.
  • חוק דמו-אוור: בעת העלאה בחזקה של מספר מרוכב בצורת סיסוס, מעלים את הגודל בחזקה ומכפילים את הזווית בחזקה.
  • שימוש בזהויות טריגונומטריות לפישוט: נצטרך לזהות ולפשט ביטויים הכוללים סכום ריבועי קוסינוס וסינוס לפי זהות בסיסית.
  • פתרון משוואות טריגונומטריות: משתמשים בזהויות טריגונומטריות ובהבנת הגודל לפתרון משוואות מסוג זה במעלות וברדיאנים.

תרגול קצר

חישוב גודל מספר מרוכב בצורת סיסוס

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מספר מרוכב z = סיס 3α כאשר r=1. חשב את הגודל של z בחזקה 2 וסמן את החלק הממשי והמדומה.

מספרים מרוכביםגודלחוק דמו-אוור

רמז: השתמש בהגדרת הגודל והעלה את r בחזקה, את הזווית הכפל בחזקה בהתאם לחוק דמו-אוור.

פתרון מלא

תשובה סופית: החלק הממשי: cos 6α החלק המדומה: sin 6α הגודל: 1

על פי חוק דמו-אוור, הגודל מוכפל בחזקה: r^2=1^2=1. הזווית מוכפלת ב-2: 3α*2=6α. החלק הממשי הוא cos 6α, והמדומה sin 6α.

פישוט משוואה של סכום ריבועי קוסינוסים וסינוסים

רמת קושי: בינוני

ממתין

אם cos² 3α + sin² 3α + cos² 2α + sin² 2α = ?

זהויות טריגונומטריותפישוט

רמז: זכור שזהויות טריגונומטריות בסיסיות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2

cos² 3α + sin² 3α = 1 cos² 2α + sin² 2α = 1 אז סכום הוא 1 + 1 = 2.

פתרון משוואה טריגונומטרית לקוסינוס

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פתור את המשוואה cos 3α cos 2α + sin 3α sin 2α = 1/2

משוואה טריגונומטריתקוסינוספתרון כללי

רמז: השתמש בזהות של סכום kוסינוס

פתרון מלא

תשובה סופית: α = 60° + 360°k או 300° + 360°k או α = π/3 + 2kπ או -π/3 + 2kπ

cos 3α cos 2α + sin 3α sin 2α = cos(3α - 2α) = cos α אז cos α = 1/2 פתרון במעלות: α = 60°, 300° + 360°k פתרון ברדיאנים: α = π/3 + 2kπ, -π/3 + 2kπ

תרגיל משולב מספרים מרוכבים וטריגונומטריה

רמת קושי: בגרות

ממתין

הוכח שגודל הביטוי (סיס 3α)^2 שווה לגודל הביטוי (סיס 2α)^3, והצג את הערכים בחלק הממשי והמדומה. לאחר מכן חשב את ערך cos α כאשר מתקיים השוויון.

מספרים מרוכביםחוק דמו-אוורזהויות טריגונומטריותמשוואה מורכבת

רמז: השתמש בחוק דמו-אוור והגדרת גודל. פשט בעזרת זהויות טריגונומטריות והמר למשוואה פשוטה לקוסינוס של α.

פתרון מלא

תשובה סופית: cos α = 1/2; α = 60° או 300° + 360°k; או α = π/3 או -π/3 + 2kπ

מעלים את הביטוי בחזקה לפי חוק דמו-אוור: (סיס 3α)^2 = סיס 6α (סיס 2α)^3 = סיס 6α הגודל של שני הביטויים שווה (ל-1), החלק הממשי הוא cos 6α, החלק המדומה הוא sin 6α. משוואת השוויון מובילה ל-cos^2 3α + sin^2 3α + cos^2 2α + sin^2 2α = 3 לפי זהויות נקבל 2 + 2 cos α = 3, משמע cos α = 1/2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל משולב מספרים מרוכבים וטריגונומטריה

איך לפתור בעיה לשילוב הגדרות מספרים מרוכבים ומשוואה טריגונומטרית

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך cos α / פתרון המשוואה לקוסינוס α

  2. נתון 1

    נתון 1

    (סיס 3α)^2
  3. נתון 2

    נתון 2

    (סיס 2α)^3
  4. נתון 3

    הגדרת גודל מספר מרוכב

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להשתמש בחוק דמו-אוור להעלאת חזקה, לזהות חלקים ממשיים ומדומים, לפשט באמצעות זהויות ולפתור משוואה

  6. נוסחה

    כתוב את הביטויים (סיס 3α)^2 ו-(סיס 2α)^3 בהתאם לחוק דמו-אוור.

    (r סיס α)^n = r^n סיס nα(r סיס α)^n = r^n סיס (n α)(r )^n = r^n (n )
  7. משוואה

    השתמש בזהות cos²x + sin²x = 1 כדי לפשט את המשוואה

    השתמש בזהות cos²x + sin²x = 1 כדי לפשט את המשוואה

    cos בריבוע x + sin בריבוע x = 1cos^2 x + sin^2 x = 1^2 x + ^2 x = 1
  8. פישוט

    לחשב את ערך cos α מתוך המשוואה המתמטית המתקבלת

    לחשב את ערך cos α מתוך המשוואה המתמטית המתקבלת

    2 + 2 cos α = 32 + 2 = 3

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים ופתיחת הביטויים

מה עושים

כתוב את הביטויים (סיס 3α)^2 ו-(סיס 2α)^3 בהתאם לחוק דמו-אוור.

למה

צריך להעלות את הזווית והגודל בחזקה כדי לקבל את הצורה המתאימה.

(סיס 3α)^2 = r^2 סיס 6α, (סיס 2α)^3 = r^3 סיס 6α

נוסחה / הצבה

(r סיס α)^n = r^n סיס nα(r סיס α)^n = r^n סיס (n α)(r )^n = r^n (n )

חוק דמו-אוור לפיתרון.

2

זיהוי נתונים

זיהוי החלקים הממשיים והמדומים

מה עושים

הפרד את החלק הממשי והמדומה בכל ביטוי

למה

כדי להגדיר את הגודל כשריבוע סכום הריבועים של החלקים.

החלק הממשי הוא cos nα, המדומה הוא sin nα.

זכור להגדרות מספרים מרוכבים.

3

בחירת שיטה

השוואת גדלים לפי ההגדרות

מה עושים

השתמש בהגדרת הגודל והשווה בין הביטויים

למה

להראות שהגדלים שווים ולהכין לפישוט המשוואה.

r^2 = cos^2 3α + sin^2 3α; r^3 = cos^2 2α + sin^2 2α

נוסחה / הצבה

r = שורש ריבועי (cos בריבוע θ + sin בריבוע θ) = 1r = sqrt(cos^2 θ + sin^2 θ) = 1r = ^2 + ^2 = 1

זהות יסוד בפישוט.

4

בניית משוואה

פישוט המשוואה בעזרת זהויות

מה עושים

השתמש בזהות cos²x + sin²x = 1 כדי לפשט את המשוואה

למה

מקבלים סכומים פשוטים כדי למצוא המשוואה ל-cos α

cos² 3α + sin² 3α + cos² 2α + sin² 2α = 2

נוסחה / הצבה

cos בריבוע x + sin בריבוע x = 1cos^2 x + sin^2 x = 1^2 x + ^2 x = 1

פישוט חשוב לפיתרון.

5

פתרון

מציאת ערך cos α

מה עושים

לחשב את ערך cos α מתוך המשוואה המתמטית המתקבלת

למה

פתרון המשוואה העיקרי נועד למציאת ערך_cos α

2 + 2 cos α = 3 ⇒ cos α = 1/2

נוסחה / הצבה

2 + 2 cos α = 32 + 2 = 3

פתור משוואות בסיסיות.

6

תשובה

כתיבת התשובה הסופית

מה עושים

ציין את פתרונות cos α במעלות וברדיאנים

למה

להציג פתרונות כלליים מקובלים במתמטיקה

α = 60° + 360°k או 300° + 360°k α = π/3 + 2kπ או -π/3 + 2kπ

זכור להוסיף מחזוריות במשוואות טריגונומטריות.

פתרונות כלליים

  • חישוב גודל מספר מרוכב בצורת סיסוס: על פי חוק דמו-אוור, הגודל מוכפל בחזקה: r^2=1^2=1. הזווית מוכפלת ב-2: 3α*2=6α. החלק הממשי הוא cos 6α, והמדומה sin 6α.
  • פישוט משוואה של סכום ריבועי קוסינוסים וסינוסים: cos² 3α + sin² 3α = 1 cos² 2α + sin² 2α = 1 אז סכום הוא 1 + 1 = 2.
  • פתרון משוואה טריגונומטרית לקוסינוס: cos 3α cos 2α + sin 3α sin 2α = cos(3α - 2α) = cos α אז cos α = 1/2 פתרון במעלות: α = 60°, 300° + 360°k פתרון ברדיאנים: α = π/3 + 2kπ, -π/3 + 2kπ
  • תרגיל משולב מספרים מרוכבים וטריגונומטריה: מעלים את הביטוי בחזקה לפי חוק דמו-אוור: (סיס 3α)^2 = סיס 6α (סיס 2α)^3 = סיס 6α הגודל של שני הביטויים שווה (ל-1), החלק הממשי הוא cos 6α, החלק המדומה הוא sin 6α. משוואת השוויון מובילה ל-cos^2 3α + sin^2 3α + cos^2 2α + sin^2 2α = 3 לפי זהויות נקבל 2 + 2 cos α = 3, משמע cos α = 1/2.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.