MMATH
התחברות

וידאו · מספרים מרוכבים

ב7. הצגה טריגונומטרית

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
12 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב3. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב4. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב5. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב6. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב7. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב8. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב9. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ג1. בעיות משולבות במספרים מרוכבים שילוב עם הגדרות ומשוואה טריגונומטרית

וידאו

ג2. בעיות משולבות במספרים מרוכבים בעיית הוכחה

וידאו

ג3. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

וידאו

ג4. מיקום מספרים מרוכבים על מעגל היחידה

וידאו

ג5. פתרון תרגיל שמשלב מרוכבים עם גיאומטריה

וידאו

ג6. פתרון תרגיל מיוחד שמשלב הוכחה גיאומטרית קשה במספרים מרוכבים

וידאו

ג7. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד בהצגה טריגונומטרית של מספרים מרוכבים, הבנת משמעות הגודל (r) והזווית (α), ושימוש בנוסחאות למציאת שורשים מרובעים של מספרים בצורתם הטריגונומטרית.
  • להבין ולהחישב את הגודל (r) של מספר מרוכב אלגברי
  • להבין את הזווית (α) של מספר מרוכב ולקשר אותה לציר במישור המרוכב
  • להמיר מספרים מרוכבים מייצוג אלגברי לייצוג טריגונומטרי
  • לחשב שורשים מרובעים של מספרים מרוכבים באמצעות הנוסחה הטריגונומטרית
  • ללמוד לאמת תוצאות בעזרת מחשבון וכיוונים מינוס ופלוס במישור המרוכב
  • הגודל של מספר מרוכב: הגודל (r) של מספר מרוכב הוא המרחק מנקודת הראשית לאותו מספר במישור המרוכב ומחושב על ידי שורש סכום הריבועים של החלקים הממשי והמדומה.
  • הזווית והייצוג הטריגונומטרי: הזווית α של מספר מרוכב היא הזווית בין הציר הממשי החיובי לבין הקו המחבר את הראשית לנקודה של המספר, ונמדדת במעלות או ברדיאנים.
  • חישוב שורשים מרובעים: ניתן לחשב שורשים של מספרים מרוכבים על ידי המרת המספר לייצוג טריגונומטרי ושימוש בנוסחת השורשים הנפוצה המשלבת זווית שמתווספת באופן תקופתי.

תרגול קצר

חישוב הגודל והזווית של מספר מרוכב

רמת קושי: קל

ממתין

נתון המספר המרוכב z = -4√3 + 4i. חשב את הגודל r של z ואת הזווית α במעלות ביחס לציר החיובי.

מספרים מרוכביםהצגה טריגונומטריתגודל וזווית

רמז: חשב את הגודל לפי השורש של סכום ריבועי החלק הממשי והמדומה. השתמש בפונקציית טנגנס הפוכה למציאת הזווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: r = 8, α = 150°

החלק הממשי הוא -4√3, החלק המדומה הוא 4. r = sqrt((-4√3)^2 + 4^2) = sqrt(48 + 16) = sqrt(64) = 8 זווית α = arctan(4 / (-4√3)) = arctan(-1 / √3) = -30° כיוון שהחלק הממשי שלילי והמדומה חיובית, הזווית במישור היא 150° (180° - 30°).

חישוב שורשי שלישיים של מספר בצורת טריגונומטרית

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתון z בגודל 2 וזווית 150°. חשב את שלושת שורשי השלישיים של המספר z.

שורש שלישייםמספרים מרוכביםטריגונומטריה

רמז: השתמש בנוסחה z_k = r^(1/3) (cos((α + 360k)/3) + i sin((α + 360k)/3)) כאשר k=0,1,2.

פתרון מלא

תשובה סופית: שלושת שורשים בגודל 1.26 וזוויות 50°, 170°, 290°

r = 2 α = 150° מחשב r^(1/3) = 2^(1/3) ≈ 1.26 חשב זוויות שורש: α_k = (150 + 360k)/3 k=0: 50° k=1: 170° k=2: 290° שורשים: z_0 = 1.26 (cos 50° + i sin 50°) z_1 = 1.26 (cos 170° + i sin 170°) z_2 = 1.26 (cos 290° + i sin 290°)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון חישוב הגודל והזווית של מספר מרוכב

z = -4√3 + 4i

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הגודל r של z / הזווית α במעלות ביחס לציר הממשי החיובי

  2. נתון 1

    נתון 1

    z = -4√3 + 4i
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לחשב את הגודל כפיתת המרחק מנקודת הראשית ולחשב את הזווית באמצעות פונקציית טנגנס הפוכה תוך התחשבות

  4. נוסחה

    נכתוב ייצוג מתמטי

  5. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  6. פישוט

    חשב r = sqrt(48 + 16) = sqrt(64) = 8

    חשב r = sqrt(48 + 16) = sqrt(64) = 8

  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    r = 8, α = 150°

  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • ודא חישוב נכון של הריבועים לגרד הפיתות
    • אמת הזווית בהתאם לרביע בו נמצא המספר
    • זהירות: השמטת סימן מינוס בחלק הממשי או המדומה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתון המספר המרוכב

מה עושים

נתון z = -4√3 + 4i

למה

מתחילים עם הייצוג האלגברי של המספר כדי לחשב הגודל והזווית

המספר מבוטא כחלק ממשי ושל חלק מדומה

2

בחירת שיטה

חישוב הגודל r

מה עושים

חשב את r כשורש ריבועי של סכום ריבועי החלקים

למה

הגודל מייצג את המרחק מנקודת הראשית למספר במישור המרוכב

r = sqrt((-4√3)^2 + 4^2)

נוסחה / הצבה

r = sqrt((-4*sqrt(3))^2 + 4^2)r = (-43)^2 + 4^2

אל תשכח לחשב כל ריבוע בנפרד

3

פתרון

חשב את הערך של r

מה עושים

חשב r = sqrt(48 + 16) = sqrt(64) = 8

למה

סכום הריבועים נותן את הערך המדויק של הגודל

ריבעת השורש פשוטה ומובילה לערך מספרי מדויק

השתמש במחשבון או בפשטות חשב חזקות

4

בחירת שיטה

חישוב הזווית α

מה עושים

חשב α = arctan(4 / (-4√3))

למה

הזווית נקבעת לפי היחס בין החלק המדומה לחלק הממשי

חשוב להתייחס לכך שהחלק הממשי שלילי והמדומה חיובית

שים לב לרביע במישור לצורך התאמת הזווית

5

פתרון

התאמת הזווית לרבע המתאים

מה עושים

α = 180° - 30° = 150°

למה

מדידה נכונה ביחס לציר הממשי החיובי מחייבת תיקון זוויתית

הערך הראשון של ארקטנגנס הוא -30°, התיקון נותן זווית במיקום הנכון

התאמת הזווית עם הכיוון החיובי של הציר הממשי

6

תשובה

סיכום התוצאה

מה עושים

r = 8, α = 150°

למה

בהצגה הטריגונומטרית אלו הערכים הדרושים להמשך חישובים

הגודל והזווית מוכנים לשימוש בנוסחאות נוספות או צפייה במישור המרוכב

פתרונות כלליים

  • חישוב הגודל והזווית של מספר מרוכב: החלק הממשי הוא -4√3, החלק המדומה הוא 4. r = sqrt((-4√3)^2 + 4^2) = sqrt(48 + 16) = sqrt(64) = 8 זווית α = arctan(4 / (-4√3)) = arctan(-1 / √3) = -30° כיוון שהחלק הממשי שלילי והמדומה חיובית, הזווית במישור היא 150° (180° - 30°).
  • חישוב שורשי שלישיים של מספר בצורת טריגונומטרית: r = 2 α = 150° מחשב r^(1/3) = 2^(1/3) ≈ 1.26 חשב זוויות שורש: α_k = (150 + 360k)/3 k=0: 50° k=1: 170° k=2: 290° שורשים: z_0 = 1.26 (cos 50° + i sin 50°) z_1 = 1.26 (cos 170° + i sin 170°) z_2 = 1.26 (cos 290° + i sin 290°)
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.