MMATH
התחברות

וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים

ב4. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
3 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א4. וקטורים גיאומטריים - הגדרת המכפלה הסקלרית, דוט, שימושים

וידאו

ב1. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב -ב

וידאו

ב2. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ב3. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ב4. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ב5. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ב6. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ג1. מעבר מוקטור גיאומטרי לוקטור אלגברי

וידאו

ג2. וקטור אלגברי המישורים הראשיים והישר הפרמטרי במרחב

וידאו

ג3. הישר הפרמטרי במרחב

וידאו

ג4. וקטור גיאומטרי שימוש בפרופורציה מקדמים לחלוקת קטע

וידאו

ג5. וקטור גיאומטרי שימוש בפרופורציה מקדמים לחלוקת קטע

וידאו

ג6. חלוקת הקטע בדרך נוספת בעזרת משפט תאלס

וידאו

ד1. מצב הדדי בין ישרים במרחב

סיכום שיעור

  • בשיעור זה דנו במצבה ישרה עם וקטורים המנותחים במרחב, כולל חישוב זוויות בין וקטורים באמצעות מכפלה סקלרית, והבנת מושגי מונחות בין ישרים במרחב ההיקפי.
  • להבין ולקבוע מונחות בין ישרים במרחב
  • לחשב אורך וקטורים ומכפלה סקלרית בין וקטורים שונים
  • לפרש ולנסח וקטורים כחלקי של וקטורים נתונים
  • לחשב זווית בין וקטורים באמצעות מכפלה סקלרית
  • להשתמש במשפטים גאומטריים להסקת מסקנות במרחב
  • הגדרת הוקטורים והמצורה המרחבית: הצגת המצורה הישרה עם השלישיות והנקודות P, Q, T, והגדרת הוקטורים V, U, W עם גדלים ידועים.
  • מונחות בין ישרים במרחב: הסבר על מושג המונחות בין ישרים במרחב, כולל ההבדל בין מונחות במגע ובין מונחות במרחב ללא מגע (מקצלבים).
  • חישוב מכפלות סקלריות והקשר לזוויות: אופן חישוב מכפלה סקלרית של וקטורים והקשר לערך הזווית ביניהם, כולל חישוב מכפלות של V.V, U.U, W.W, ו- V.U.
  • פתרון מקרה ספציפי - מציאת זווית T-Q-P: שלבי פתרון למציאת זווית בין נקודות במרחב, פירוק וקטורים, חישובי גדלים ומכפלות סקלריות, ואיחוד התוצאות לקבלת הזווית.

תרגול קצר

חישוב וקטור QT

רמת קושי: קל

ממתין

נתונים הוקטורים V, U, W עם גדלים ידועים. נמצא את הוקטור QT המיוצג כביטוי וקטורי.

וקטוריםחיבור וקטוריםייצוג וקטורים

רמז: השתמשו בחלקי וקטורים הנתונים והפורמולה לבניית הוקטורים המתחברים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הוקטור QT הוא QT = (1/3)W - U - (2/3)V

QT = (1/3)W - U - (2/3)V

חישוב גודל הוקטור QT

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את גודל הוקטור QT הנתון בביטוי QT = (1/3)W - U - (2/3)V כאשר |V|=3, |U|=6, |W|=9 ווקטורים מאונכים.

אורך וקטורמכפלה סקלריתחישוב גודל

רמז: מצא את המכפלה הסקלרית QT.QT ואז חפש את השורש הריבועי.

פתרון מלא

תשובה סופית: 7

|QT| = sqrt((1/3)^2*81 + 36 + (2/3)^2*9) = sqrt(9 + 36 + 4) = sqrt(49) = 7

חישוב זווית T-Q-P במרחב

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את הזווית בין הזווית T-Q-P במרחב, באמצעות הוקטורים QT ו-QP הנתונים.

זווית בין וקטוריםמכפלה סקלריתחישוב זווית

רמז: השתמש בנוסחת מכפלה סקלרית כדי למצוא את קוסינוס הזווית ואז חילץ את הזווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-80.5 מעלות

קודם כל מחשבים את QT ונוסחאות עבור QP, מחשבים גודלים ומכפלה סקלרית בין QT ל-QP, מציבים בנוסחה cos(α) = (QT dot QP)/(|QT||QP|) וחישבו את α = acos(cos(α))

זווית בין וקטורים במרחב

רמת קושי: בגרות

ממתין

כאשר נתונים וקטורים V,U,W בעלי גדלים ידועים וכיוונים במרחב, חשב את הזווית הכוללת בין נקודות T, Q, ו-P.

בגרותוקטורים במרחבמקדם זווית

רמז: פירוק הוקטורים לשילוב נכון, חישוב מכפלות סקלריות, שימוש בנוסחת הזווית לטווח המרחב.

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-80.5°

לפי פירוק הוקטורים וחישוב הערכים כפי שנלמד, הזווית T-Q-P מתקבלת בערך 80.5 מעלות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב זווית T-Q-P במרחב

פתרון שיטת ניתוח וקטורים ושלבים לחישוב זווית במרחב

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הזווית בין הווקטורים QT ל-QP סביב נקודה Q

  2. נתון 1

    נתון 1

    וקטורים V,U,W עם גדלים |V|=3, |U|=6, |W|=9
  3. נתון 2

    נתון 2

    נקודות P,Q,T עם יחסים: AP=PB, AT=(1/3)ATC, BQ=(1/2)QB
  4. נתון 3

    וקטורים מאונכים או ניצבים בזוויות ידועות

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לפרק את הוקטורים QT ו-QP לביטויים וקטוריים מתוך V,U,W, לחשב גדלים, מכפלה סקלרית ולהשתמש בנוסחה

  6. נוסחה

    מחישוב QT ו-QP מחשבים גדלים ע"י חיבור ריבוע הרכיבים והמכפלה הסקלרית

    cos(alpha) = (QT dot QP) / (|QT| * |QP|)cos(α) = (QT dot QP)/( |QT| * |QP| )() = (QT * QP)/(|QT||QP|)
  7. משוואה

    מתארים את וקטורי הוצאם כולל הגדלים: V=3, U=6, W=9.

    מתארים את וקטורי הוצאם כולל הגדלים: V=3, U=6, W=9.

  8. פישוט

    מתחשבים בערכים שהתקבלו, מחשבים את cos(α) ולאחר מכן את α ע"י ארקקוסינוס

    מתחשבים בערכים שהתקבלו, מחשבים את cos(α) ולאחר מכן את α ע"י ארקקוסינוס

    alpha = arccos(3 / (7 * 6.873))α = arccos(3/ (7 * 6.873))

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

קביעת הוקטורים והיחסים

מה עושים

מתארים את וקטורי הוצאם כולל הגדלים: V=3, U=6, W=9. מגדירים נקודות P,Q,T על פי נתונים

למה

להבין את המבנה הגאומטרי של המצבה ולזהות את מקומות הנקודות במרחב

הצבת נקודות ווקטורים עם הוראות מפורשות על חלוקות וחלקים מהשלם

2

בחירת שיטה

פירוק הוקטורים QT ו-QP

מה עושים

מבצעים פירוק של QT ו-QP לביטוי וקטורי כמינוס וחלקי שילוב של V,U,W

למה

כדי לדעת כיצד לבטא את הוקטורים בהתאם לוקטורים הנתונים ולצלב את הערכים

מחלקים את QT ל: QT = (1/3)W - U - (2/3)V, ואת QP ל: QP = -(2/3)W - (1/2)U - (1/2)V

לפצל וקטורים נותן גישה לברור את השרשרת של הפעולות

3

בניית משוואה

חישוב גדלים ומכפלות

מה עושים

מחישוב QT ו-QP מחשבים גדלים ע"י חיבור ריבוע הרכיבים והמכפלה הסקלרית ביניהם

למה

חשוב כדי להשתמש בנוסחה למציאת זווית האמיתית בין הוקטורים

חישוב: |QT| = 7, |QP| ≈ 6.873, QT dot QP = 3

נוסחה / הצבה

cos(alpha) = (QT dot QP) / (|QT| * |QP|)cos(α) = (QT dot QP)/( |QT| * |QP| )() = (QT * QP)/(|QT||QP|)

לתעד חישובי חלקי וקטורים למניעת טעויות

4

פתרון

חישוב הזווית

מה עושים

מתחשבים בערכים שהתקבלו, מחשבים את cos(α) ולאחר מכן את α ע"י ארקקוסינוס

למה

המטרה לקבל את הערך המדויק של הזווית המבוקשת במעלות

α = acos(3/(7*6.873)) ≈ 80.5 מעלות

נוסחה / הצבה

alpha = arccos(3 / (7 * 6.873))α = arccos(3/ (7 * 6.873))= ( (3)/(7 x 6.873) )

להשתמש במחשבון מדויק לצורך חישוב ארקקוסינוס

5

בדיקה

ודא עקביות תוצאות

מה עושים

בודקים שהחישובים של גודלי וקטורים ושל המכפלה הסקלרית נכונים ומציאותיים

למה

למנוע שגיאות חישוב ולקבל פתרון מדויק

השוואת ערכים לחומרים ידועים ולקשרים גאומטריים

חשוב להתאים בין יחידות ומדדים שונים בשאלה

6

תשובה

ניסוח התשובה הסופית

מה עושים

מניחים כי הזווית T-Q-P במרחב שווה כ-80.5 מעלות

למה

מענה מדויק על פי הנתונים והחישובים לבגרות

הזווית T-Q-P במרחב היא כ-80.5 מעלות

פתרונות כלליים

  • חישוב וקטור QT: QT = (1/3)W - U - (2/3)V
  • חישוב גודל הוקטור QT: |QT| = sqrt((1/3)^2*81 + 36 + (2/3)^2*9) = sqrt(9 + 36 + 4) = sqrt(49) = 7
  • חישוב זווית T-Q-P במרחב: קודם כל מחשבים את QT ונוסחאות עבור QP, מחשבים גודלים ומכפלה סקלרית בין QT ל-QP, מציבים בנוסחה cos(α) = (QT dot QP)/(|QT||QP|) וחישבו את α = acos(cos(α))
  • זווית בין וקטורים במרחב: לפי פירוק הוקטורים וחישוב הערכים כפי שנלמד, הזווית T-Q-P מתקבלת בערך 80.5 מעלות.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.