השיעור עוסק בזיהוי וצפייה של צורות גאומטריות במרחב, בעיקר מנסרות ופירמידות, והערכת הקשר בין וקטורים במרחב דרך זוויות ונוסחת הדוט כדי להבין את קשרי האורתוגונליות במרחב התלת-ממדי.
להכיר צורות גאומטריות בסיסיות במרחב: מנסרות ופירמידות
להבין מושגים בסיסיים במרחב כמו קודקודים, מקצועות ופאות בקובייה
להבין את משמעות זוויות של 90 מעלות בין וקטורים במרחב
ליישם את מכפלת הדוט (וקטור דוט) להבנת קשרים בין וקטורים אנכיים במרחב
לזהות מתי צורה גאומטרית היא קובייה או תיבה לפי גדלי הוקטורים
לתרגל בניית ניתוח וקטורי על צורות במרחב
היכרות עם הצורות במרחב: יוצגו צורות גאומטריות מרכזיות במרחב: מנסרות (כגון קובייה, קיבה), ופירמידות (משולשת ומרובעת) ונלמד את המבנה שלהן.
המונחים הבסיסיים של הקובייה במרחב: הגדרת קודקודים, מקצועות ופאות בקובייה, והבדלים בין הבסיס התחתון, הבסיס העליון והמקצועות הצדדיים.
ניתוח זוויות בין וקטורים במרחב הקובייה: ההסבר שהמקצועות במרחב זה לזו בזווית של 90 מעלות, ואיך זה מבוטא באמצעות מכפלת דוט וקטורית.

תרגול קצר

חישוב גודל וקטור במרחב

רמת קושי: קל

ממתין

נתון וקטור במרחב V עם רכיבים (3,4,12). חשב את גודל הווקטור.

וקטוריםגודל וקטורמרחב

רמז: השתמש בנוסחה |V| = שורש ריבועי של סכום ריבועי הרכיבים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 13

גודל הווקטור הוא השורש של 3 בריבוע ועוד 4 בריבוע ועוד 12 בריבוע, כלומר שורש 9 + 16 + 144 = שורש 169 = 13.

בדיקת אורתוגונליות בין וקטורים

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונים שני וקטורים במרחב: V = (2,0,-1), U = (0,5,3). האם הווקטורים מאונכים?

וקטוריםמכפלת דוטאורתוגונליות

רמז: חשב את מכפלת הדוט V·U ובדוק אם היא שווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: הווקטורים אינם מאונכים.

V·U = (2)(0) + (0)(5) + (-1)(3) = 0 + 0 - 3 = -3. הערך אינו אפס ולכן הווקטורים אינם מאונכים.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

בדיקת אורתוגונליות בין שני וקטורים במרחב

שימוש במכפלת דוט לזיהוי זווית 90 מעלות בין וקטורים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא להוכיח האם הווקטורים מאונכים / כלומר, האם זווית ביניהם היא 90 מעלות
נתון 1
וקטור V עם רכיבים ידועים
נתון 2
וקטור U עם רכיבים ידועים
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את מכפלת הדוט בין הווקטורים ונבדוק האם היא אפס.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
הכפל רכיבי V ברכיבי U וחבר את התוצאות
הכפל רכיבי V ברכיבי U וחבר את התוצאות
פישוט
חשב: 0 + 0 - 3 = -3
חשב: 0 + 0 - 3 = -3
תוצאה
מסיימים בתשובה
V·U ≠ 0 ולכן הווקטורים אינם מאונכים

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתוני הווקטורים

מה עושים

רשום את רכיבי הווקטורים V ו-U

למה

על מנת לדעת את הערכים לחישוב המכפלה

למשל V=(2,0,-1), U=(0,5,3)

בחירת שיטה

הבנת מהות האורתוגונליות

מה עושים

נזכור שווקטורים מאונכים אם מכפלת הדוט שלהם שווה 0

למה

לפי ההגדרה של מכפלת הדוט וזווית ביניהם

נוסחה / הצבה

V דוט U = גודל V כפול גודל U כפול קוסינוס αV·U = |V|*|U|*cos(α)V * U = |V| x |U| x ()

בניית משוואה

חשב את מכפלת הדוט V·U

מה עושים

הכפל רכיבי V ברכיבי U וחבר את התוצאות

למה

כדי למצוא האם המכפלה שווה 0

(2)(0) + (0)(5) + (-1)(3)

פתרון

חשב את הערך הסופי של מכפלת הדוט

מה עושים

חשב: 0 + 0 - 3 = -3

למה

לקבוע האם המכפלה אפס או לא

בדיקה

בדוק האם המכפלה שווה לאפס

מה עושים

V·U ≠ 0 ולכן הווקטורים אינם מאונכים

למה

רק כאשר המכפלה שווה 0 הווקטורים מאונכים

תשובה

סיכום התשובה

מה עושים

מסקנה: הווקטורים אינם מאונכים במרחב

למה

מכפלת הדוט שונה מאפס, זווית שונה מ-90 מעלות

פתרונות כלליים

חישוב גודל וקטור במרחב: גודל הווקטור הוא השורש של 3 בריבוע ועוד 4 בריבוע ועוד 12 בריבוע, כלומר שורש 9 + 16 + 144 = שורש 169 = 13.
בדיקת אורתוגונליות בין וקטורים: V·U = (2)(0) + (0)(5) + (-1)(3) = 0 + 0 - 3 = -3. הערך אינו אפס ולכן הווקטורים אינם מאונכים.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב1. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב -ב

ניווט לפי נושאים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא להוכיח האם הווקטורים מאונכים / כלומר, האם זווית ביניהם היא 90 מעלות

וקטור V עם רכיבים ידועים

וקטור U עם רכיבים ידועים

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

הכפל רכיבי V ברכיבי U וחבר את התוצאות

חשב: 0 + 0 - 3 = -3

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתוני הווקטורים

הבנת מהות האורתוגונליות

חשב את מכפלת הדוט V·U

חשב את הערך הסופי של מכפלת הדוט

בדוק האם המכפלה שווה לאפס

סיכום התשובה

פתרונות כלליים