MMATH
התחברות

וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים

א4. וקטורים גיאומטריים - הגדרת המכפלה הסקלרית, דוט, שימושים

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
וידאו

א1. וקטורים גאומטריים - הגדרות, כפל וקטור בסקלר

וידאו

א2. וקטורים גיאומטריים - שקול וקטורי לעומת שקול סקלרי

וידאו

א3. וקטורים גיאומטריים - הגדרת המכפלה הסקלרית, דוט, שימושים

וידאו

א4. וקטורים גיאומטריים - הגדרת המכפלה הסקלרית, דוט, שימושים

וידאו

ב1. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב -ב

וידאו

ב2. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ב3. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ב4. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ב5. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ב6. וקטורים גיאומטריים - שימושים במרחב

וידאו

ג1. מעבר מוקטור גיאומטרי לוקטור אלגברי

וידאו

ג2. וקטור אלגברי המישורים הראשיים והישר הפרמטרי במרחב

וידאו

ג3. הישר הפרמטרי במרחב

וידאו

ג4. וקטור גיאומטרי שימוש בפרופורציה מקדמים לחלוקת קטע

סיכום שיעור

  • שיעור העוסק בוקטורים גיאומטריים ואלגבריים, הגדרת המכפלה הסקלרית, ופתרון בעיות מעשיות עם וקטורים בעזרת מכפלה סקלרית וזוויות בין וקטורים.
  • להבין הגדרה והמשמעות של המכפלה הסקלרית (DOT) בין וקטורים
  • לדעת לחשב גודל וקטור באמצעות המכפלה הסקלרית של הוקטור עם עצמו
  • לפתור בעיות שמערבות וקטורים בכיוונים שונים, זוויות והכפלת וקטורים במקדם סקלרי
  • לחשב זווית בין שני וקטורים באמצעות המכפלה הסקלרית
  • לתרגל פתירת משוואות וקטוריות וחשיבה גאומטרית ואלגברית בוקטורים
  • תיאור הבעיה והנתונים: הצגת שני וקטורים בעיר עם אורכים וזווית ביניהם, והגדרת וקטורים AB ו-CD לפי נסיעות בכיוונים שונים על צירי V ו-U.
  • חישוב גודל וקטור באמצעות מכפלה סקלרית: חישוב גודל וקטור AB על ידי חישוב DOT של AB עם עצמו, שימוש בזוויות נכונות וחישוב סכום המרכיבים.
  • חישוב גודל וקטור CD: כאשר CD מוגדר כוקטור בכיוון ההפוך ל-V ול-U, משתמשים ברעיון של הסימנים השליליים בכפולות הסקלריות ובותרים את התוצא.
  • חישוב המכפלה הסקלרית AB DOT CD וזווית ביניהם: מכפלה סקלרית בין שני וקטורים AB ו-CD מחושבת על ידי שימוש בהגדרתם ופתיחת סוגריים לנוסחה אלגברית, ומשם חישוב הזווית ביניהם.

תרגול קצר

חישוב גודל וקטור AB

רמת קושי: קל

ממתין

בנתונים הבאים: וקטור V באורך 2 ק"מ, וקטור U באורך 1 ק"מ, בזווית של 60 מעלות ביניהם, וקטור AB = 2V + 3U. חשב את גודל וקטור AB.

וקטוריםמכפלה סקלריתחישוב גודל וקטור

רמז: חשב את AB DOT AB ואז קח שורש.

פתרון מלא

תשובה סופית: שורש 37

נחשב AB DOT AB = (2V + 3U) DOT (2V + 3U) = 4 (V DOT V) + 12 (V DOT U) + 9 (U DOT U). V DOT V = 2^2=4, U DOT U=1^2=1, V DOT U=|V||U|cos60=2*1*0.5=1. לכן, AB DOT AB = 4*4 + 12*1 + 9*1 = 16 + 12 + 9 = 37. גודל AB = שורש 37.

חישוב גודל וקטור CD בכיוון ההפוך

רמת קושי: בינוני

ממתין

אם CD = -V - 2U, כאשר |V|=2, |U|=1 והזווית ביניהם 60 מעלות, חשב את גודל וקטור CD.

וקטוריםמכפלה סקלריתחישוב גודל וקטורסימנים שליליים

רמז: חשב CD DOT CD ואז קח שורש.

פתרון מלא

תשובה סופית: שורש 12

CD DOT CD = (-V - 2U) DOT (-V - 2U) = V DOT V + 4 (U DOT U) + 4 (V DOT U), מכיוון שמינוס כפול מינוס נותן פלוס. V DOT V = 4, U DOT U=1, V DOT U=1. אז הסכום הוא 4 + 4*1 + 4*1 = 4 + 4 + 4 = 12. גודל CD = שורש 12.

חישוב המכפלה הסקלרית AB DOT CD והזווית ביניהם

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן AB = 2V + 3U ו-CD = -V - 2U, וחישוב גודליהם מולם, חשב את AB DOT CD ואת הזווית ביניהם.

מכפלה סקלריתחישוב זווית בין וקטוריםפתיחת סוגריים

רמז: פתח את AB DOT CD, חשב את המקדמים, ואחר כך השתמש בנוסחה לזווית בין וקטורים.

פתרון מלא

תשובה סופית: AB DOT CD = -21, הזווית בין AB ל-CD ≈ 175.3 מעלות

AB DOT CD = (2V + 3U) DOT (-V - 2U) = -2 (V DOT V) - 4 (V DOT U) - 3 (U DOT V) - 6 (U DOT U). שימוש בערכי מכפלה סקלרית: V DOT V =4, V DOT U =1, U DOT U =1. חישוב: -2*4 - 4*1 - 3*1 - 6*1 = -8 -4 -3 -6 = -21. הזווית β בין AB ל-CD מחושבת כך: AB DOT CD = |AB| * |CD| * cosβ. הערכים: AB=שורש 37, CD=שורש 12. לכן: cosβ = AB DOT CD / (|AB|*|CD|) = -21 / (שורש 37 * שורש 12) ≈ -0.996. β ≈ 175.3 מעלות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפה לפתירת גודל וקטור AB

חישוב גודל וקטור בהתאם לוקטורים V ו-U וזווית ביניהם

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא חישוב |AB|

  2. נתון 1

    וקטור V באורך 2 ק"מ

  3. נתון 2

    וקטור U באורך 1 ק"מ

  4. נתון 3

    זווית ביניהם 60 מעלות

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נחשב את AB DOT AB, שהוא הסכום של המכפלות הסקלריות בין הוקטורים המרכיבים, ואז נוציא שורש.

  6. נוסחה

    נפתח את AB DOT AB כ:(2V + 3U) DOT (2V + 3U)

    AB DOT AB= 4*(V DOT V) + 12*(V DOT U) + 9*(U DOT U)
  7. משוואה

    החלף את הערכים בנוסחה וחשב סך הכל

    החלף את הערכים בנוסחה וחשב סך הכל

  8. פישוט

    חשב V DOT V, U DOT U ו-V DOT U בעזרת אורכים וזווית

    חשב V DOT V, U DOT U ו-V DOT U בעזרת אורכים וזווית

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתוני הבעיה ברורים

מה עושים

זכור את אורך הוקטורים והזווית ביניהם

למה

המידע הנדרש לחישוב

|V|=2, |U|=1, זווית=60°, AB=2V+3U

2

בחירת שיטה

הגדרת גודל וקטור

מה עושים

נחשב AB DOT AB ואז נוציא שורש

למה

כדי לקבל את אורך הוקטור AB

|AB| = שורש(AB DOT AB)

3

בניית משוואה

פתיחת הכפל בתוך המכפלה הסקלרית

מה עושים

נפתח את AB DOT AB כ:(2V + 3U) DOT (2V + 3U)

למה

להפוך את החישוב לסכום של מכפלות סקלריות

AB DOT AB = 4(V DOT V) + 12(V DOT U) + 9(U DOT U)

נוסחה / הצבה

AB DOT AB= 4*(V DOT V) + 12*(V DOT U) + 9*(U DOT U)

שימו לב לקבועי המקדמים בהתאם להרכבת הוקטור AB.

4

פתרון

חשב וקטור DOT וקטור לפי נתונים

מה עושים

חשב V DOT V, U DOT U ו-V DOT U בעזרת אורכים וזווית

למה

כדי להחליף ערכים במספרים

V DOT V = 4, U DOT U = 1, V DOT U = 2 * 1 * cos 60° = 1

5

פתרון

הכנס ערכים וחישוב הסכום

מה עושים

החלף את הערכים בנוסחה וחשב סך הכל

למה

לחישוב הערך המספרי של AB DOT AB

AB DOT AB = 4*4 + 12*1 + 9*1 = 37

6

תשובה

חשב את גודל AB

מה עושים

קח שורש מהסכום שהתקבל

למה

הסיכום הוא הערך של AB DOT AB

|AB| = שורש 37

נוסחה / הצבה

|AB| = שורש 37|AB| = sqrt(37)|AB| = 37

כעת מצאת את אורך הוקטור AB.

פתרונות כלליים

  • חישוב גודל וקטור AB: נחשב AB DOT AB = (2V + 3U) DOT (2V + 3U) = 4 (V DOT V) + 12 (V DOT U) + 9 (U DOT U). V DOT V = 2^2=4, U DOT U=1^2=1, V DOT U=|V||U|cos60=2*1*0.5=1. לכן, AB DOT AB = 4*4 + 12*1 + 9*1 = 16 + 12 + 9 = 37. גודל AB = שורש 37.
  • חישוב גודל וקטור CD בכיוון ההפוך: CD DOT CD = (-V - 2U) DOT (-V - 2U) = V DOT V + 4 (U DOT U) + 4 (V DOT U), מכיוון שמינוס כפול מינוס נותן פלוס. V DOT V = 4, U DOT U=1, V DOT U=1. אז הסכום הוא 4 + 4*1 + 4*1 = 4 + 4 + 4 = 12. גודל CD = שורש 12.
  • חישוב המכפלה הסקלרית AB DOT CD והזווית ביניהם: AB DOT CD = (2V + 3U) DOT (-V - 2U) = -2 (V DOT V) - 4 (V DOT U) - 3 (U DOT V) - 6 (U DOT U). שימוש בערכי מכפלה סקלרית: V DOT V =4, V DOT U =1, U DOT U =1. חישוב: -2*4 - 4*1 - 3*1 - 6*1 = -8 -4 -3 -6 = -21. הזווית β בין AB ל-CD מחושבת כך: AB DOT CD = |AB| * |CD| * cosβ. הערכים: AB=שורש 37, CD=שורש 12. לכן: cosβ = AB DOT CD / (|AB|*|CD|) = -21 / (שורש 37 * שורש 12) ≈ -0.996. β ≈ 175.3 מעלות.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.