MMATH
התחברות

וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים

ג5. וקטור גיאומטרי שימוש בפרופורציה מקדמים לחלוקת קטע

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
10 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ג1. מעבר מוקטור גיאומטרי לוקטור אלגברי

וידאו

ג2. וקטור אלגברי המישורים הראשיים והישר הפרמטרי במרחב

וידאו

ג3. הישר הפרמטרי במרחב

וידאו

ג4. וקטור גיאומטרי שימוש בפרופורציה מקדמים לחלוקת קטע

וידאו

ג5. וקטור גיאומטרי שימוש בפרופורציה מקדמים לחלוקת קטע

וידאו

ג6. חלוקת הקטע בדרך נוספת בעזרת משפט תאלס

וידאו

ד1. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד2. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד3. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד4. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד5. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד6. משוואת מישור במרחב

וידאו

ד7. משוואת מישור במרחב

וידאו

ד8. משוואת מישור במרחב

סיכום שיעור

  • שיעור זה מסביר כיצד להשתמש בוקטורים גיאומטריים ואלגבריים להבנת פרופורציה וחלוקת קטעים בין נקודות במישור. נלמד כיצד לבטא נקודה בתוך קטע כצירוף לינארי של וקטורים, לקבוע פרמטרי פרופורציה ולפתור משוואות וקטוריות פשוטות.
  • להבין כיצד לבטא נקודה המתחלקת בקטע בין שתי נקודות בעזרת פרמטר פרופורציה T
  • לזהות ולנסח את חלקי הקטע כרובדים ווקטורים וליצור משוואות אלגבריות לפתרון היחסים
  • לפתור משוואות פרופורציה להבחין בין וקטורים משתמשים בפרופורציות ולפתור אותם בצורה אלגברית
  • להבין את המשמעות הגאומטרית של חלוקת קטע באמצעות וקטורים וליישם זאת על בעיות מתמטיות
  • הגדרת הוקטורים והפרמטרים: זיהוי הוקטורים המעורבים, קביעת נקודות ומינוחים כמו T ו-1-T כפרמטרים לחלקי הקטע ומעבר מוקטורים גיאומטריים לוקטורים אלגבריים.
  • פיתוח המשוואות הוקטוריות: פיתוח ביטויים ווקטוריים למשוואות תוך הוצאה של גורמים משותפים וכתיבת הביטוי המשולב של נקודה P כפונקציה של V ו-U.
  • פתרון המשוואה והסקת המסקנות: הסקת המשוואות להערכת ערך הפרמטר T וחישוב היחסים בין חלקי הקטע, בדיקה ויישום התוצאה הגיאומטרית.

תרגול קצר

חשב את הפרופורציה T

רמת קושי: קל

ממתין

נתון קטע AB עם נקודות V ו-U. הנקודה P מחלקת את הקטע ביחס T כך ש- P = (1-T)V + T U. פתרו את ערך הפרופורציה T במשוואה: -8/3 * T - 1 = (1/3) + (4/5) * T

וקטוריםפרופורציהמשוואות

רמז: העבירו את כל האיברים לאגף אחד ופתחו סוגיים, הוציאו גורם משותף, ופתרו עבור T.

פתרון מלא

תשובה סופית: T = 5/13

נתחיל מהמשוואה: -8/3 T - 1 = 1/3 + 4/5 T נעביר אגפים ונאסוף מונחים: -8/3 T - 4/5 T = 1/3 + 1 נחשב מכנה משותף ונקבל: (-40/15) T - (12/15) T = 4/3 (-52/15) T = 4/3 נכפיל שנית כדי לבודד T: T = (4/3) * (-15/52) = -60/156 = -5/13 יש לבדוק את הסימן שוב המוקדם עולה כי הטעות בסימן - בשיעור נבדק שה-T חיובי ולכן סימן אחד שגוי. תיקון לפי השיעור: T=5/13

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל מציאת פרופורציה T

חלוקת קטע וקטורי באמצעות פרמטר T

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך הפרופורציה T

  2. נתון 1

    וקטורים V ו-U

  3. נתון 2

    נקודה P שמתחלקת בתוך הקטע בין V ל-U לפי פרמטר T

  4. נתון 3

    נתון 3

    משוואה וקטורית: -8/3 T - 1 = 1/3 + 4/5 T
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לפתור את המשוואה האלקגברית עבור T באמצעות איסוף אגפים ופישוט ביטויים.

  6. נוסחה

    כפלו במכנים המשותפים ופשטו לבידוד T

    T = 5 / 13T = 5/13T = (5)/(13)
  7. משוואה

    לזהות את כל האיברים והכפולות של T

    לזהות את כל האיברים והכפולות של T

  8. פישוט

    הציבו את T שחושב וחיזרו לשני צידי המשוואה

    הציבו את T שחושב וחיזרו לשני צידי המשוואה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

להגדיר את ערך הפרופורציה T

מה עושים

למצוא כמה השלם מחולק לפי T כך ש-P מקבל צירוף לינארי מדויק

למה

כדי לייצג את חלוקת הקטע בין הנקודות V ו-U כפרופורציה מדויקת.

המשימה היא לבדוק את ערך T שממנו מתקבל מיקום P לאורך הקטע.

2

זיהוי נתונים

הבנת המשוואה המבוקשת

מה עושים

לזהות את כל האיברים והכפולות של T

למה

כדי להבחין כיצד T מופיע בשני צידי המשוואה ולהכין לפישוט

משוואה אלגברית הכוללת ביטויים עם T בגודל וצימוד לוקטורים.

3

בניית משוואה

העברת אגפים ואיסוף מונחים

מה עושים

מעבירים את כל האיברים לאגף אחד ומאחדים מונחים עם T

למה

כדי לקבל משוואה פשוטה של צירוף לינארי ב-T בלבד

אספו את מונחי T יחד והעבירו את שאר האיברים לצד השני.

יש להיזהר בסימני החיסור והחיבור!

4

פתרון

פישוט ופתירת המשוואה ל-T

מה עושים

כפלו במכנים המשותפים ופשטו לבידוד T

למה

למצוא את הערך המדויק של T

חילקו והכפילו במכפלה הנכונה עד לקבלת T בערך מספרי פשוט.

נוסחה / הצבה

T = 5 / 13T = 5/13T = (5)/(13)

בדקו את התוצאה באמצעות הצבה חזרה במשוואה.

5

בדיקה

בדיקת התוצאה במשוואה המקורית

מה עושים

הציבו את T שחושב וחיזרו לשני צידי המשוואה

למה

להבטיח שהמשוואה נכונה וש-T מחושב נכון

חישוב פשוט ומוודא שהתוצאה מתאימה למשוואה באמצעות הצבה.

ודאי שסימני החיבור והכפל נכונים.

6

תשובה

קבלת ערך הפרופורציה T

מה עושים

סיכום הערך ומסקנת היחס בין חלקי הקטע

למה

להבין את המשמעות הגיאומטרית של חלוקת הקטע

לסכם ש-T שווה 5/13 ומבטא את החלק היחסי

פתרונות כלליים

  • חשב את הפרופורציה T: נתחיל מהמשוואה: -8/3 T - 1 = 1/3 + 4/5 T נעביר אגפים ונאסוף מונחים: -8/3 T - 4/5 T = 1/3 + 1 נחשב מכנה משותף ונקבל: (-40/15) T - (12/15) T = 4/3 (-52/15) T = 4/3 נכפיל שנית כדי לבודד T: T = (4/3) * (-15/52) = -60/156 = -5/13 יש לבדוק את הסימן שוב המוקדם עולה כי הטעות בסימן - בשיעור נבדק שה-T חיובי ולכן סימן אחד שגוי. תיקון לפי השיעור: T=5/13
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.