השיעור עוסק בחזרה על חישוב זוויות במרחב תוך שימוש ביחסי סינוס, קוסינוס וטנגנס במשולשים ישרי זווית, והצגת שיטות בדיקה ואימות של תוצאות באמצעות השוואת צדדים במשוואות.
להבין שימוש ביחסי סינוס, קוסינוס וטנגנס לחישוב זוויות
ללמוד להציג כמויות גאומטריות באמצעות שימוש במשתנים X ו-Y כצלעות במשולש ישר זווית
להכיר שיטות לאימות נכונות תוצאות בעזרת השוואת שני צדדים במשוואה
לפתח ראייה להגיון גאומטרי בתרגול חזרות במרחב
הגדרת משתנים במשולש ישר זווית: הצגת משתנים X ו-Y כצלעות במשולש ישר זווית וכיתוב זוויות וקטעים רלוונטיים
שימוש ביחסי סינוס, קוסינוס וטנגנס לחישוב זווית: הסבר על חישוב זוויות באמצעות ניצבים והיתר במשולש ישר זווית ויישום בפועל
אימות משוואות באמצעות השוואת צד שמאל וצד ימין: הצגת שיטה לגיטימית לאימות נכונות משוואות שהוצגו על ידי השוואת צדדים

תרגול קצר

חישוב זווית במרחב לפי יחסי צלעות

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש ישר זווית עם צלעות באורכים X ו-Y, חישב את הסינוס של הזווית הממוקמת מול ניצב X.

טריגונומטריהמשולש ישר זווית

רמז: השתמש בהגדרת סינוס – ניצב מול חלקי היתר

פתרון מלא

תשובה סופית: sin(זווית) = X / sqrt(X^2 + Y^2)

הסינוס מוגדר כניצב מול חלקי היתר. ניצב מול הוא X, היתר הוא השורש של X בריבוע ועוד Y בריבוע. לכן הסינוס = X שחולק ב sqrt(X^2 + Y^2)

השוואת ביטויים במשוואה עם צלעות

רמת קושי: בינוני

ממתין

הוכח שהמשוואה הבאה נכונה: A' חלקי שורש X בריבוע ועוד Y בריבוע שווה ל- A' חלקי X חלקי 1 ועוד קוסינוס בריבוע, כאשר קוסינוס בריבוע שווה ל- Y בריבוע חלקי X בריבוע.

טריגונומטריהפישוט משוואות

רמז: נסה לבצע פישוט בשני הצדדים ולהוציא גורם משותף

פתרון מלא

תשובה סופית: המשוואה נכונה בהתאם לפישוט והצבה נאותה.

כתובים שני הצדדים: מציבים את קוסינוס בריבוע = Y^2 / X^2. מכפילים ומוציאים את המכנה המשותף X^2. מתבהר שהביטוי מותאם ואכן שווה לשורש ריבועי של X^2+Y^2 חלקי X. משני הצדדים מתקבלת אותה תוצאה, ולכן המשוואה נכונה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב זווית במרחב עם צלעות X ו-Y

שימוש ביחסי טריגונומטריה בסיסיים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא סינוס הזווית מול ניצב X
נתון 1
משולש ישר זווית
רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בהגדרת סינוס כלפי ניצב מול והיתר במתכונת המשולש.
נוסחה
חשב את אורך היתר כפשוט שורש סכום ריבועי X ו-Y.
sqrt(X^2 + Y^2)sqrtX^2 + Y^2
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חשב את היחס X חלקי היתר.
חשב את היחס X חלקי היתר.
sin(theta) = X / sqrt(X^2 + Y^2)() = (X)/(X^(2) + Y^(2))
תוצאה
מסיימים בתשובה
שווה בין התוצאה לבין ערכים ידועים לצורך אימות.
בדיקה
בדיקה קצרה
- הגדירו נכון את אורכי הצלעות X ו-Y
- הבנת ההגדרה הבסיסית של סינוס
- זהירות: בלבול בין ניצב מול לניצב ליד

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונים ראשוניים

מה עושים

קבע את אורכי הצלעות X ו-Y במשולש ישר זווית.

למה

הבנת הצלעות חיונית ליחסים הטריגונומטריים.

X ו-Y הם הצלעות בניצב של המשולש ישר הזווית.

בחירת שיטה

הגדרת סינוס

מה עושים

נחתוך את סינוס הזווית כהיחס בין ניצב מול היתר.

למה

כך נקבל ביטוי ממשי לסינוס.

סינוס הוא ניצב מול חלקי היתר.

בניית משוואה

חשב את היתר

מה עושים

חשב את אורך היתר כפשוט שורש סכום ריבועי X ו-Y.

למה

היתר הוא הבסיס לחישוב היחס.

היתר = sqrt(X² + Y²).

נוסחה / הצבה

sqrt(X^2 + Y^2)sqrtX^2 + Y^2

פתרון

חשב את סינוס הזווית

מה עושים

חשב את היחס X חלקי היתר.

למה

כך מתקבל סינוס הזווית המבוקש.

sin = X / sqrt(X^2 + Y^2)

נוסחה / הצבה

sin(theta) = X / sqrt(X^2 + Y^2)() = (X)/(X^(2) + Y^(2))

בדיקה

בדוק את התוצאה

מה עושים

שווה בין התוצאה לבין ערכים ידועים לצורך אימות.

למה

לבדוק את נכונות החישוב.

דוגמה מספרית יכולה לאמת את המדידה.

אפשר לבדוק עם ערכים ספציפיים של X ו-Y.

פתרונות כלליים

חישוב זווית במרחב לפי יחסי צלעות: הסינוס מוגדר כניצב מול חלקי היתר. ניצב מול הוא X, היתר הוא השורש של X בריבוע ועוד Y בריבוע. לכן הסינוס = X שחולק ב sqrt(X^2 + Y^2)
השוואת ביטויים במשוואה עם צלעות: כתובים שני הצדדים: מציבים את קוסינוס בריבוע = Y^2 / X^2. מכפילים ומוציאים את המכנה המשותף X^2. מתבהר שהביטוי מותאם ואכן שווה לשורש ריבועי של X^2+Y^2 חלקי X. משני הצדדים מתקבלת אותה תוצאה, ולכן המשוואה נכונה.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב6. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 349 תרגיל 16

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא סינוס הזווית מול ניצב X

משולש ישר זווית

הרעיון המרכזי

חשב את אורך היתר כפשוט שורש סכום ריבועי X ו-Y.

נבנה משוואה

חשב את היחס X חלקי היתר.

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

נתונים ראשוניים

הגדרת סינוס

חשב את היתר

חשב את סינוס הזווית

בדוק את התוצאה

פתרונות כלליים