MMATH
התחברות

וידאו · חזרות

ב4. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 340 תרגיל 2

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
5 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א6. חזרות במרחב סיכום של החומר החשוב

וידאו

ב1. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 351 תרגיל 28

וידאו

ב2. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 350 תרגיל 25

וידאו

ב3. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 350 תרגיל 25

וידאו

ב4. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 340 תרגיל 2

וידאו

ב5. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 349 תרגיל 16

וידאו

ב6. חזרות במרחב פתרון שאלה עמוד 349 תרגיל 16

וידאו

ג1. חזרות אנליטית וקטורים

וידאו

ג2. חזרות אנליטית

וידאו

ג3. חזרות וקטורים מרחק נקודה מישר

וידאו

ג4. חזרות אנליטית וקטורים

וידאו

ג5. חזרות אנליטית וקטורים

וידאו

ג6. חזרות אנליטית וקטורים

וידאו

ג7. חזרות אנליטית וקטורים

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בפתרון תרגיל במרחב הכולל חישוב שטח מעטפת של צורה תלת־ממדית כתלות בזווית פנימית Alpha. מתמקדים בחילוץ אורך, שימוש במשפט פיתגורס, שימוש בזהויות טריגונומטריות ובדיקת נכונות הפתרון בעזרת חישוב וניסוח זהויות.
  • להבין את מבנה הצורה המרחבית ומרכיביה בתוך התרגיל
  • למידה כיצד להגדיר ולחשב גובה במקורב משולש במרחב
  • שימוש במשפט פיתגורס במרחב
  • להשתמש בזהויות טריגונומטריות לפישוט ביטויים
  • לזהות ולהוכיח זהויות טריגונומטריות כחלק מהפתרון
  • לבדוק נכונות פתרונות מתמטיים השונים בצורתם אך שווים בערכם
  • הגדרת הבעיה ומרכיבי התרגיל: התרגיל עוסק במרחב וזווית פנימית Alpha, ומתייחס למשולשים פנימיים בצורה ומקשר בין אורכים וזוויות במרחב.
  • חילוץ הגובה והקשרים המשולשים: הגדרת הגובה H במשולש ושימוש במשפט פיתגורס לחישוב אורכי צלעות ביחס לזווית Alpha.
  • שימוש בזהויות טריגונומטריות לפישוט: הצגת נוסחאות וזויות, שימוש בשלושת הזהויות השונות בקוסינוס וסינוס לחיסור ופישוט הביטוי הסופי.

תרגול קצר

חישוב גובה במרחב לפי זווית Alpha

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש במרחב, Znרן מחצית זווית Alpha נתונים אורך a. חשב את הגובה H בהתאם לזהויות המתוארות בשיעור.

חזקותטריגונומטריהמשפט פיתגורסרמת 5 יח"ל

רמז: השתמש במשפט פיתגורס ובזהויות של סינוס וקוסינוס לזוויות כפולות.

פתרון מלא

תשובה סופית: H = a sin(α/2) שורש cos(α/2)

הגדר H כשורש רוחבי בין ריבועי הצלע וקוסינוס של זווית מחצית Alpha. H = (a sin(α/2)) * sqrt(cos(α/2))

פישוט ביטוי טריגונומטרי במשולש במרחב

רמת קושי: בינוני

ממתין

הראה שיחסי החזקות והסינוסים מובילים לזהות המקשרת בין ערכי a, H ו-alpha.

פישוטיםזהויותמרחברמת 5 יח"ל

רמז: נצל את זהויות קוסינוס של זוויות כפולות וכן פיתגורס במרחב.

פתרון מלא

תשובה סופית: גלה ש \n H^2 = a^2 * cos(α) / 2 \n תוך שימוש בזהויות קוסינוס כפול זווית.

הסתמך על נוסחת הניתנת מהשיעור ושימוש בהחלפת זהויות מוקדמות. פישוט עובר לפי שלבים של הצגה והחלפת סינוסים וקוסינוסים.

הוכחת זהות טריגונומטרית מתקדמת

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הוכח שניתן להמיר בין הנוסחה החישובית של שטח מעטפת בצורת פונקציה של α לשטח כתלות בזווית כפולה תוך שימוש בזהויות טריגונומטריות.

הוכחותזהויות מתקדמותשטחים במרחברמת 5 יח"ל

רמז: התחל מנוסחת הגובה ובדוק החלפות בעזרת זהויות קוסינוס כפולות.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח = 4 * a^2 * sin(α)

הצג פעולות החלפה לפי נוסחאות שורש הפונקציות, ואכן הפוך בין סינוס לקוסינוס זווית מחצית, תוך הדגשה על נוסחת שטח המעטפת הכוללת 4 a^2 sin(α).

בדיקת זהות בין תוצאות שונות לפתרון השטח במרחב

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונות שתי נוסחאות שונות מחשבוניות לשטח מעטפת במרחב עם נתוני α ו-a. ודא שהן שוות על ידי חישוב שלהם למספר נתון של α.

בגרותחישוב בעזרת מחשבוןזהויותרמת 5 יח"ל

רמז: השתמש במחשבון ובדוק הפרש של התוצאות בין הנוסחאות.

פתרון מלא

תשובה סופית: הנוסחאות שקולות אם ההפרש ביניהן שווה 0.

הכנס ערך α מסוים, חשב כל נוסחה וסכם את ההפרש. אם ההפרש שווה 0 ערכית, הנוסחאות שקולות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: חישוב שטח המעטפת במרחב כתלות ב-Alpha

מפה מפורטת לפתרון תרגיל 2 מתוך חזרות על 5 יח"ל

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הרחבת נוסחת שטח המעטפת / חישוב גובה H במרחב בהתאם לזווית Alpha

  2. נתון 1

    אורך a של צד בצורה

  3. נתון 2

    הזווית Alpha בין צלעות במישור פנימי

  4. נתון 3

    שימוש במשולשים פנימיים וצלעות קשורות

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לחלק את הצורה למשולשים במרחב, לחשב גובה H בעזרת זהויות טריגונומטריות ופיתגורס, ולבנות את נוסחת

  6. נוסחה

    החלפת ביטויים בעזרת זהות קוסינוס של זווית כפולה.

    cos(2θ) = 1 - 2 sin^2(θ)(2 ) = 1 - 2 ^2
  7. משוואה

    השתמש במשפט פיתגורס ליצירת משוואה עבור H.

    השתמש במשפט פיתגורס ליצירת משוואה עבור H.

    h^2 = a^2 - (a cos(α/2))^2h^(2) = a^(2) - (a (()/(2)))^(2)
  8. פישוט

    הבע את H כפונקציה של a ו-Alpha כתוצאה מפישוט.

    הבע את H כפונקציה של a ו-Alpha כתוצאה מפישוט.

    H = a sin(α/2) שורש cos(α/2)H = a (()/(2)) (()/(2))

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתוני הצורה והזווית

מה עושים

הגדר את הצד a ואת זווית Alpha במישור.

למה

הגדרת קבועים לפתרון החישובי במרחב.

מתוך הנתונים ידועים a ו-Alpha, הנח לעבודה.

2

בחירת שיטה

הגדרת הגובה H במשולש

מה עושים

המצא גובה פנימי H במשולש משתמש.

למה

לחשב אורך משמעותי לחישוב שטח המעטפת.

שימוש במשולשים שווי שוקיים ופיתגורס מחברים את H לנתונים.

3

בניית משוואה

כתיבת משוואת פיתגורס

מה עושים

השתמש במשפט פיתגורס ליצירת משוואה עבור H.

למה

לייצר משוואה בינארית לפישוט הביטויים.

H^2 + רכיבים נוספים שווים לצד אחר במשולש.

נוסחה / הצבה

h^2 = a^2 - (a cos(α/2))^2h^(2) = a^(2) - (a (()/(2)))^(2)
4

פתרון

פישוט באמצעות זהויות טריגונומטריות

מה עושים

החלפת ביטויים בעזרת זהות קוסינוס של זווית כפולה.

למה

לקבל נוסחה פשוטה וברורה לגובה H.

הפוך את ביטוי הקוסינוס שתי אלפיות לנוסחה שימושית.

נוסחה / הצבה

cos(2θ) = 1 - 2 sin^2(θ)(2 ) = 1 - 2 ^2
5

תשובה

כתיבת הנוסחה הסופית לגובה H

מה עושים

הבע את H כפונקציה של a ו-Alpha כתוצאה מפישוט.

למה

קבלת ביטוי ישיר ונוח לשימוש בפיתרון שאר החישובים.

H שווה ל a כפול סינוס מחצית Alpha כפול שורש קוסינוס מחצית Alpha.

נוסחה / הצבה

H = a sin(α/2) שורש cos(α/2)H = a (()/(2)) (()/(2))

פתרונות כלליים

  • חישוב גובה במרחב לפי זווית Alpha: הגדר H כשורש רוחבי בין ריבועי הצלע וקוסינוס של זווית מחצית Alpha. H = (a sin(α/2)) * sqrt(cos(α/2))
  • פישוט ביטוי טריגונומטרי במשולש במרחב: הסתמך על נוסחת הניתנת מהשיעור ושימוש בהחלפת זהויות מוקדמות. פישוט עובר לפי שלבים של הצגה והחלפת סינוסים וקוסינוסים.
  • הוכחת זהות טריגונומטרית מתקדמת: הצג פעולות החלפה לפי נוסחאות שורש הפונקציות, ואכן הפוך בין סינוס לקוסינוס זווית מחצית, תוך הדגשה על נוסחת שטח המעטפת הכוללת 4 a^2 sin(α).
  • בדיקת זהות בין תוצאות שונות לפתרון השטח במרחב: הכנס ערך α מסוים, חשב כל נוסחה וסכם את ההפרש. אם ההפרש שווה 0 ערכית, הנוסחאות שקולות.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.