קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד ג

תשובה סופית: d" = 2 d^2

נגדיר את הסדרה החדשה: b_k = a_k^2 - a_(k+1)^2. נחשב את הפרש בין איברים עוקבים: d" = b_k - b_(k-1) = (a_k^2 - a_{k+1}^2) - (a_{k-1}^2 - a_k^2) = 2a_k^2 - a_{k+1}^2 - a_{k-1}^2. בעזרת כפל מקוצר ויחסים בסדרה החשבונית מתקבל d" = 2 d^2.

תשובה סופית: n - 1

מספר האיברים בסדרה החדשה הוא n-1, כיוון שהפרש ריבועים נוצרים בין זוגות עוקבים בלבד, ולכן יש איבר אחד פחות.

תשובה סופית: 3 ≤ n ≤ 65

נכתב: b_(n-1) = 64 + (n-2)*2 d^2 = 192 לכן, (n-2)*2 d^2 = 128 אם d^2 > 1, מתקבל: (n-2)*2 > 128 לחלק ב-d^2 (n-2) < 64 לפיכך, n < 66 גם n ≥ 3 בגלל הנתון. לכן, תחום n הוא 3 ≤ n ≤ 65.

תשובה סופית: 3 ≤ n ≤ 65

חלק ראשון: הוכחה שהפרש הסדרה b הוא 2 d^2, לפי ההסבר במתמטיקה של כפל מקוצר וחישוב הפרשים שונים של סדרה חשבונית. חלק שני: נשתמש בנוסחה כללית לאיבר n-1 של b: b_{n-1} = b_1 + (n-2)*2 d^2 נתונים: b_1=64, b_{n-1}=192 לכן: 192 = 64 + (n-2)*2 d^2 (192 - 64) = (n-2)*2 d^2 128 = (n-2)*2 d^2 לפי הנתון d^2 > 1 אז (n-2)*2 > 128 / למקרה הקיצוני מכאן n < 66 וגם n ≥ 3 כי יש לפחות 3 איברים. לכן תחום n הוא 3 ≤ n ≤ 65.