בשיעור זה נלמד לפתור שאלות הסתברות מותנית ובלתי תלות בין מאורעות מתוך טבלת סטטיסטיקה של בחירת מסלולים בקרב תלמידים בנים ובנות.
להבין הגדרות הסתברות מותנית והסתברות חיתוך בין מאורעות
לדעת לחשב הסתברות מתוך טבלה הנתונה
לבדוק האם שני מאורעות הם בלתי תלויים
לפתור בעיות הכוללות הסתברות של "לפחות אחד" באמצעות חוק ההשלמה
הגדרות ראשוניות ונתונים: הגדרת מאורעות לבנים בנות, מסלול א', מסלול ב' והצגת טבלת הנתונים הכוללת את ההסתברויות המותנות של הילדים שבחרו בכל מסלול.
חישוב הסתברות חיתוך והסתברות מותנית: שימוש בנוסחה להפקת ההסתברות של חיתוך בין מאורעות והשלמת טבלת ההסתברויות.
בדיקת תלות ובלתי תלות בין מאורעות: השוואת ההסתברות של החיתוך לסכום מכפלות ההסתברויות לאבחן אם המאורעות תלויים או בלתי תלויים.
בעיות הסתברות של לפחות אחד: חישוב הסתברות של מינימום אירוע אחד מתוך מספר ניסויים באמצעות חוק ההשלמה והחזקות.

תרגול קצר

חישוב הסתברות לחיתוך מאורעות

רמת קושי: קל

ממתין

נניח שיש טבלה עם הסתברויות, חשב את ההסתברות לבחור במסלול ב' וגם להיות בת.

הסתברותהסתברות מותניתסטטיסטיקה

רמז: השתמש בנוסחה של הסתברות חיתוך P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A).

פתרון מלא

תשובה סופית: P(A ג' ∩ B ג') = 0.36

מכיוון ש-75% מהבחרים במסלול א' הן בנות ו-10% מתוך הבנות במסלול ב' הן בחירת ב', ניתן להשתמש בנוסחה, כאשר מחשבים P(A ג' ∩ B ג').

בדיקת תלות או אי תלות בין מאורעות

רמת קושי: בינוני

ממתין

בדוק האם המאורעות 'בחירת מסלול ב'' ו'להיות בת' תלויים או בלתי תלויים אם P(A ג' ∩ B ג') = 0.36, P(A ג') = 0.48, ו-P(B ג') = 0.4.

הסתברותתלות מאורעותסטטיסטיקה

רמז: השווה בין P(A ג' ∩ B ג') ל-P(A ג') * P(B ג').

פתרון מלא

תשובה סופית: המאורעות תלויים

P(A ג') * P(B ג') = 0.48 * 0.4 = 0.192 לא שווה ל-0.36, לכן המאורעות תלויים.

הסתברות של לפחות אחת מתוך מספר בנות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

אם ההסתברות שבחורה בוחרת במסלול א' היא 0.9, מה המספר המינימלי של בנות שצריך לבחור כדי שההסתברות שלפחות אחת מהן תבחר במסלול א' תהיה לפחות 0.99?

הסתברותחוק ההשלמהבעיות בינאריות

רמז: השתמש בנוסחה P(לפחות אחת) = 1 - (P(אף אחת)) וחשב בחזקת n.

פתרון מלא

תשובה סופית: מספר מינימלי של בנות = 2

הגדר p = 0.9 ואת ההסתברות שאף אחת לא תבחר במסלול א' p' = 0.1. נרצה 1 - (0.1)^n ≥ 0.99 (0.1)^n ≤ 0.01 לכן n ≥ log(0.01)/log(0.1) = 2.

חישוב והבנת הסתברויות מותנות ובלתי תלות

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונות ההסתברויות: P(מסלול א')=0.48 P(בנות)=0.4 P(מסלול ב' וחיתוך בת)=0.36 א. חשב את ההסתברות לבחור מסלול ב' ולהיות בת. ב. בדוק אם מאורעות 'מסלול ב'' ו'להיות בת' הינם בלתי תלויים. ג. נתון שההסתברות שלפחות אחת מתוך n בנות בוחרת מסלול א' היא 0.99. חשב את n המינימלי.

בחינת בגרותהסתברות מותניתבדיקת תלותחוק ההשלמה

רמז: א. השתמש בנוסחת חיתוך ההסתברויות. ב. בדוק האם P(A ∩ B) = P(A)*P(B). ג. השתמש בנוסחת ההשלמה של לפחות אחד.

פתרון מלא

תשובה סופית: א=0.36, ב=תלויים, ג=2

א. P(מסלול ב' ∩ בנות) = 0.36 ב. P(מסלול ב')*P(בנות) = 0.48*0.4=0.192 ≠ 0.36, לכן תלויים. ג. מחפשים n כך ש-1-(0.1)^n ≥ 0.99, כלומר (0.1)^n ≤ 0.01, לכן n=2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה - הסתברות בחירת מסלול ב' והבנות בו

בדיקת הסתברויות מותנות ובלתי תלות

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא P(מסלול ב' ∩ בת) / האם המאורעות בלתי תלויים / המספר המינימלי n של בנות
נתון 1
נתון 1
P(מסלול א') = 0.48
נתון 2
נתון 2
P(בנות) = 0.4
נתון 3
נתון 3
P(מסלול ב' וחיתוך בת) = 0.36
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את ההסתרבות של חיתוך מאורעות, נשווה למכפלת ההסתברויות לבדיקה אם בלתי תלויים, ולבסוף נשתמש
נוסחה
חישוב 0.48 כפול 0.4
P(A') * P(B') = 0.48 * 0.4P(A ג') * P(B ג') = 0.48 * 0.4P(A') x P(B') = 0.48 x 0.4
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
0.48*0.4 = 0.192, לא שווה ל-0.36
0.48*0.4 = 0.192, לא שווה ל-0.36

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הסתברות מסלול א' ובנות

מה עושים

P(A) = 0.48 ו-P(B) = 0.4

למה

בהינתן אלו הסתברויות בסיסיות לשימוש בהמשך

זיהוי נתונים

הסתברות חיתוך מסלול ב' ובנות

מה עושים

P(A ג' ∩ B ג') = 0.36

למה

הנתון מאפשר לבדוק תלות בין המאורעות

בחירת שיטה

בדיקת תלות בין מאורעות

מה עושים

נבדוק האם P(A ג' ∩ B ג') שווה למכפלת P(A ג') ו-P(B ג')

למה

לפי הקריטריון, אם שווים אז בלתי תלויים

בניית משוואה

חישוב מכפלת הסתברויות

מה עושים

חישוב 0.48 כפול 0.4

למה

להשוות את התוצאה ל-P(A ג' ∩ B ג')

נוסחה / הצבה

P(A') * P(B') = 0.48 * 0.4P(A ג') * P(B ג') = 0.48 * 0.4P(A') x P(B') = 0.48 x 0.4

פתרון

השוואת התוצאות

מה עושים

0.48*0.4 = 0.192, לא שווה ל-0.36

למה

מכאן שהמאורעות תלויים

פתרון

חישוב n למינימום בנות

מה עושים

1 - (0.1)^n ≥ 0.99

למה

נרצה למצוא את n המינימלי שמקיים זאת

נוסחה / הצבה

1 - (0.1)^n >= 0.99

השתמש בלוגריתם לפתרון

פתרונות כלליים

חישוב הסתברות לחיתוך מאורעות: מכיוון ש-75% מהבחרים במסלול א' הן בנות ו-10% מתוך הבנות במסלול ב' הן בחירת ב', ניתן להשתמש בנוסחה, כאשר מחשבים P(A ג' ∩ B ג').
בדיקת תלות או אי תלות בין מאורעות: P(A ג') * P(B ג') = 0.48 * 0.4 = 0.192 לא שווה ל-0.36, לכן המאורעות תלויים.
הסתברות של לפחות אחת מתוך מספר בנות: הגדר p = 0.9 ואת ההסתברות שאף אחת לא תבחר במסלול א' p' = 0.1. נרצה 1 - (0.1)^n ≥ 0.99 (0.1)^n ≤ 0.01 לכן n ≥ log(0.01)/log(0.1) = 2.
חישוב והבנת הסתברויות מותנות ובלתי תלות: א. P(מסלול ב' ∩ בנות) = 0.36 ב. P(מסלול ב')*P(בנות) = 0.48*0.4=0.192 ≠ 0.36, לכן תלויים. ג. מחפשים n כך ש-1-(0.1)^n ≥ 0.99, כלומר (0.1)^n ≤ 0.01, לכן n=2.

הפריט הקודם הפריט הבא

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 מועד ב

ניווט לפי נושאים

פתרונות של בגרויות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא P(מסלול ב' ∩ בת) / האם המאורעות בלתי תלויים / המספר המינימלי n של בנות

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

חישוב 0.48 כפול 0.4

נבנה משוואה

0.48*0.4 = 0.192, לא שווה ל-0.36

פתרון מפורט

הסתברות מסלול א' ובנות

הסתברות חיתוך מסלול ב' ובנות

בדיקת תלות בין מאורעות

חישוב מכפלת הסתברויות

השוואת התוצאות

חישוב n למינימום בנות

פתרונות כלליים