במעבר מחקירת פונקציה מעריכית לחקירת משוואה ממעלה שנייה בפונקציה, לומדים כיצד לקבוע את מספר הפתרונות באמצעות הצבה והבנת תרומת הפתרונות למציאת מספר הפתרונות הכולל.
לזהות מתי ניתן להציב לפתרון משוואה עם פונקציה כנעלם ביניים
לפתור משוואה ממעלה שנייה בפונקציה מעריכית באמצעות הצבה
לקבוע את מספר הפתרונות של המשוואה מן ההקשר הגרפי
להבין משמעות הייצוג הגרפי של y שווה קבוע ותרומתו לפתרונות המשוואה
ניתוח המשוואה ממעלה שנייה בפונקציה: ניתוח משוואה מהצורה f(x)^2 - 5f(x) + 6 = 0 באמצעות הצבת t = f(x) ומציאת שורשי המשוואה הריבועית עבור t.

תרגול קצר

קביעת מספר פתרונות משוואה ריבועית בפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה המשוואה f(x)^2 - 5f(x) + 6 = 0. כמה פתרונות יש למשוואה? הסבר את תהליך הקביעה.

פונקציה מעריכיתמשוואה ממעלה שנייהפתרון עי הצבהמספר פתרונות

רמז: הצע להחליף את f(x) ב-t, לפתור את המשוואה הריבועית ב-t ולבדוק כמה פתרונות אמיתיים מתקבלים לפונקציה f.

פתרון מלא

תשובה סופית: מספר הפתרונות למשוואה הוא אחד.

מציבים t=f(x), המשוואה הופכת ל t^2 - 5t + 6 = 0. הפתרונות הם t=2 ו t=3. משמעותם היא שצריך לבדוק איפה הפונקציה f(x) שווה ל-2 או ל-3. y=2 הוא ישר המאונך לציר x, נקודתי פתרון לא תורם (באופן גרפי פותר נקודה אחת), y=3 הוא ישר נוסף שאין לו פתרונות נוספים, לכן סה"כ יש פתרון אחד.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

איך לקבוע מספר פתרונות למשוואה ריבועית בפונקציה

שימוש בהצבה ובניתוח גרפי

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מספר הפתרונות של המשוואה
נתון 1
נתון 1
משוואה מהצורה f(x)^2 - 5f(x) + 6 = 0
רעיון
הרעיון המרכזי
הצב t = f(x) ופתור את המשוואה הריבועית עבור t, לאחר מכן בדוק את תרומת הפתרונות למציאת מספר
נוסחה
מחליפים f(x) ב t כדי לפשט את המשוואה
t^2 - 5t + 6 = 0
משוואה
פונים לפתרון המשוואה הריבועית
פונים לפתרון המשוואה הריבועית
t = 2 או t = 3t=2 \או \t=3
פישוט
בודקים כמה נקודות חיתוך יש לגרף f(x) עם הקווים y=2 ו-y=3
בודקים כמה נקודות חיתוך יש לגרף f(x) עם הקווים y=2 ו-y=3
תוצאה
מסיימים בתשובה
מסכמים את מספר הפתרונות הכולל
בדיקה
בדיקה קצרה
- האם הבנת למה מחליפים t במקום f(x)?
- האם פתרת את המשוואה הריבועית נכון?
- זהירות: לא להציב t במקום f(x) ולפתור ישירות

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הצבת t במקום f(x)

מה עושים

מחליפים f(x) ב t כדי לפשט את המשוואה

למה

פישוט המשוואה למקדמה רגילה המוכרת

המשוואה נהפכת ל t בריבוע מינוס 5 t ועוד 6 שווה 0

נוסחה / הצבה

t^2 - 5t + 6 = 0

הצבה זו מאפשרת עבודה ישירה על המשוואה הריבועית

פתרון

פיתרון המשוואה הריבועית ב-t

מה עושים

פונים לפתרון המשוואה הריבועית

למה

זיהוי שורשי המשוואה הם ערכי t האפשריים של f(x)

למשוואה פתרונות t=2 ו t=3

נוסחה / הצבה

t = 2 או t = 3t=2 \או \t=3

השורשים הם ערכי f(x) האפשריים

בחירת שיטה

הבנת המשמעות הגרפית של t

מה עושים

מזהים ש t הוא ערך של הפונקציה f(x)

למה

המספרים 2 ו-3 הם יעדי y לפונקציית f

y=2 ו-y=3 הם ישרים אופקיים בדיאגרמה

מדובר בקווים אופקיים שצריך לבדוק חיתוך עם גרף הפונקציה

פתרון

בדיקת מספר הפתרונות של f(x)

מה עושים

בודקים כמה נקודות חיתוך יש לגרף f(x) עם הקווים y=2 ו-y=3

למה

נקבע כמה פתרונות אמיתיים קיימים למשוואה

y=2 תורם פתרון אחד, y=3 לא תורם פתרונות

יש להתייחס לגרף הפונקציה כדי להחליט כמה פתרונות יש

תשובה

קביעת התשובה הסופית

מה עושים

מסכמים את מספר הפתרונות הכולל

למה

לענות על שאלת השיעור

סך כל הפתרונות הוא אחד

פתרון ייחודי למשוואה

פתרונות כלליים

קביעת מספר פתרונות משוואה ריבועית בפונקציה: מציבים t=f(x), המשוואה הופכת ל t^2 - 5t + 6 = 0. הפתרונות הם t=2 ו t=3. משמעותם היא שצריך לבדוק איפה הפונקציה f(x) שווה ל-2 או ל-3. y=2 הוא ישר המאונך לציר x, נקודתי פתרון לא תורם (באופן גרפי פותר נקודה אחת), y=3 הוא ישר נוסף שאין לו פתרונות נוספים, לכן סה"כ יש פתרון אחד.

הפריט הקודם הפריט הבא

א7. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

ניווט לפי נושאים

חקירה מעריכית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מספר הפתרונות של המשוואה

נתון 1

הרעיון המרכזי

מחליפים f(x) ב t כדי לפשט את המשוואה

פונים לפתרון המשוואה הריבועית

בודקים כמה נקודות חיתוך יש לגרף f(x) עם הקווים y=2 ו-y=3

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הצבת t במקום f(x)

פיתרון המשוואה הריבועית ב-t

הבנת המשמעות הגרפית של t

בדיקת מספר הפתרונות של f(x)

קביעת התשובה הסופית

פתרונות כלליים