שיעור זה מתמקד בחקירת פונקציה מעריכית הכוללת זיהוי תחום הגדרה, חקר אסימפטוטות אופקיות, וחיתוכים עם צירי הת coordinate, תוך שימוש בהיגיון ומחשבון.
להבין את תחום ההגדרה של פונקציה מעריכית ולזהות אילו ערכי x מותרים
לחקור את התנהגות הפונקציה ליד נקודות קריטיות ובאינסוף
לנתח את קיומן או העדרן של אסימפטוטות אופקיות
לבדוק חיתוכים עם צירי x ו-y
לתרגל שימוש במחשבון להבנת גדילה מעריכית
תחום ההגדרה ופתרון אי-שוויונות: הדגש הוא על ההבנה שה-x בריבוע תמיד חיובי ושונה מאפס לכן תחום ההגדרה הוא כל x שונה מאפס.
חקר האסימפטוטות האופקיות: לבדוק את הגבולות של הפונקציה כאשר x שואף ל-0 מימין ומשמאל, וכן באינסוף ובמינוס אינסוף.
חיתוכים עם הצירים: מבדקים אם קיימים חיתוכים עם ציר ה-y (x=0) או ציר ה-x (y=0), ומגיעים למסקנה שאין חיתוכים בגלל תחום ההגדרה ותנאים מתמטיים.

תרגול קצר

חקירת תחום ההגדרה של פונקציה מעריכית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = e^(x²) / x². מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

תחום הגדרהפונקציה מעריכית

רמז: הסתכל על המכנה וודא מה מותר מבחינת x בריבוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא כל x ∈ ℝ, x ≠ 0

מכיוון שהמכנה הוא x², הוא חייב להיות שונה מאפס כדי למנוע חילוק באפס. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-x=0.

גבולות פונקציה מעריכית באפס

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = e^(1/x²). חשב את הגבולות של הפונקציה כש-x שואף ל-0 מימין ומשמאל.

גבולותפונקציה מעריכית

רמז: שים לב ש-1/x² שואף לאינסוף חיובי משני הצדדים.

פתרון מלא

תשובה סופית: lim x→0+ f(x) = +∞, lim x→0- f(x) = +∞

כאשר x שואף ל-0 מימין או לשמאל, 1/x² שואף לאינסוף חיובי ולכן e^(1/x²) שואף לפלוס אינסוף משני הצדדים.

קיום אסימפטוטה אופקית לפונקציה מעריכית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = e^(x²) / x². חקר האם קיימת אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

אסימפטוטות אופקיותגבולות

רמז: בדוק את התנהגות הגבול של f(x) כשה-x שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף, והשווה בין המונה למכנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: אין אסימפטוטה אופקית לפונקציה זו.

כאשר x שואף לאינסוף, x² שואף לאינסוף, ולכן המונה e^(x²) גדל מהר בהרבה מהמכנה x². לכן הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף ואין אסימפטוטה אופקית. אותו דבר עבור מינוס אינסוף כי x² חיובי בכל מקרה.

חקירת חיתוכים ואסימפטוטות לפונקציה מעריכית

רמת קושי: בגרות

ממתין

עבור הפונקציה f(x) = e^(x²) / x², בדוק את תחום ההגדרה, גבולות באפס ובאינסוף, מצא את האסימפטוטות האופקיות וחיתוכים עם הצירים.

חקירה פונקציונליתבגרות

רמז: התחלי בבדיקת תחום ההגדרה, לאחר מכן חשבי גבולות, ולבסוף בדקי ערכי חיתוך עם הצירים על ידי הצבת y=0 או x=0.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום הגדרה: x ≠ 0. אין אסימפטוטות אופקיות. אין חיתוכים עם הצירים.

תחום ההגדרה: x ≠ 0. גבולות ב-0+: הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף. גבולות באינסוף ובמינוס אינסוף: הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף, לפיכך אין אסימפטוטה אופקית. חיתוך עם ציר ה-y אינו קיים כי x=0 מחוץ לתחום. חיתוך עם ציר ה-x: מכאן ושווה ל-0 לא מתקיים. לכן אין חיתוכים.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת פונקציה מעריכית עם מנה בריבוע

שלב אחר שלב בחקר הפונקציה f(x) = e^(x²) / x²

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / גבולות כאשר x שואף לאפס / גבולות כאשר x שואף לאינסוף /
נתון 1
נתון 1
הפונקציה f(x) = e^(x²) / x²
נתון 2
x² בטוי של המכנה
נתון 3
e בחזקה פונקציה חיובית
רעיון
הרעיון המרכזי
נבדוק תחילה את התחום דרך המכנה, לאחר מכן נחשב גבולות באפס ובאינסוף, ונבצע ניתוח חיתוכים
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
חשב את lim x→+∞ ו- lim x→-∞ של הפונקציה
חשב את lim x→+∞ ו- lim x→-∞ של הפונקציה
פישוט
בדוק חיתוך עם ציר y על ידי הצבת x=0 וחיתוך עם ציר x על ידי הצבת f(x)=0
בדוק חיתוך עם ציר y על ידי הצבת x=0 וחיתוך עם ציר x על ידי הצבת f(x)=0

תחום ההגדרה x ≠ 0, הגבולות באפס שואפים לאינסוף, אין אסימפטוטה אופקית, ואין חיתוכים עם הצירים.

הבנת התנהגות הפונקציה חיונית

פתרונות כלליים

חקירת תחום ההגדרה של פונקציה מעריכית: מכיוון שהמכנה הוא x², הוא חייב להיות שונה מאפס כדי למנוע חילוק באפס. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-x=0.
גבולות פונקציה מעריכית באפס: כאשר x שואף ל-0 מימין או לשמאל, 1/x² שואף לאינסוף חיובי ולכן e^(1/x²) שואף לפלוס אינסוף משני הצדדים.
קיום אסימפטוטה אופקית לפונקציה מעריכית: כאשר x שואף לאינסוף, x² שואף לאינסוף, ולכן המונה e^(x²) גדל מהר בהרבה מהמכנה x². לכן הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף ואין אסימפטוטה אופקית. אותו דבר עבור מינוס אינסוף כי x² חיובי בכל מקרה.
חקירת חיתוכים ואסימפטוטות לפונקציה מעריכית: תחום ההגדרה: x ≠ 0. גבולות ב-0+: הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף. גבולות באינסוף ובמינוס אינסוף: הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף, לפיכך אין אסימפטוטה אופקית. חיתוך עם ציר ה-y אינו קיים כי x=0 מחוץ לתחום. חיתוך עם ציר ה-x: מכאן ושווה ל-0 לא מתקיים. לכן אין חיתוכים.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב1. חקירה של פונקציה מעריכית ת.ה אסימפטוטת חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה מעריכית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / גבולות כאשר x שואף לאפס / גבולות כאשר x שואף לאינסוף /

נתון 1

x² בטוי של המכנה

e בחזקה פונקציה חיובית

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

חשב את lim x→+∞ ו- lim x→-∞ של הפונקציה

בדוק חיתוך עם ציר y על ידי הצבת x=0 וחיתוך עם ציר x על ידי הצבת f(x)=0

פתרון מפורט

הבנת תחום ההגדרה

חשב גבולות באפס

חשב גבולות באינסוף

מצא חיתוכים עם הצירים

סיכום התוצאות

פתרונות כלליים