בשיעור זה נלמד כיצד לחקור פונקציה מעריכית באמצעות גזירת פונקציה מורכבת, זיהוי נקודות קיצון, וניתוח התנהגות הפונקציה על ידי הצבת ערכים לחישוב וניבוי עלייה וירידה.
ללמוד לבצע גזירה של פונקציה מעריכית בעלת נגזרת פנימית
לפתור משוואות נגזרת כדי למצוא נקודות קיצון
לאפיין את התנהגות הפונקציה על פי סימני הנגזרת
להבין כיצד להשתמש בתמונת הנגזרת לשרטוט
לתרגל הצבה ובקרה של ערכים קריטיים בהקשר של נקודות קיצון
גזירת פונקציה מעריכית מורכבת: הסבר על גזירת פונקציה מעריכית הכוללת נגזרת פנימית ומכפלה וקטורית.
פתרון משוואת הנגזרת לאיתור נקודות קיצון: כיצד להניח את הנגזרת שווה לאפס, למצוא את הפתרונות הרלוונטיים, ולנתחם.
אפיון נקודות קיצון ושרטוט סקיצה: אבחון נקודות קיצון על פי סימני הנגזרת ומיפוי התנהגות הפונקציה על הגרף.

תרגול קצר

מציאת נקודות קיצון של פונקציה מעריכית פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = e^{2x} - 4e^{x}. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה.

פונקציה מעריכיתגובה קיצוןנגזרת

רמז: גש לנגזרת הפונקציה, הצב אותה שווה לאפס והוצא גורם משותף.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת קיצון ב-x = ln(2)

f'(x) = 2e^{2x} - 4e^{x} = 2e^{x}(e^{x} - 2). שווה ל-0 כאשר 2e^{x} = 0 (אין פתרון) או e^{x} - 2 = 0 ⇒ e^{x} = 2 ⇒ x = ln(2). בלבד מעריכים את התנהגות הנגזרת סביב נקודה זו למצוא אם מדובר במקסימום או מינימום.

ניתוח נקודות קיצון ופישוט משוואה מעריכית

רמת קושי: בינוני

ממתין

הפונקציה f(x) = \frac{e^{3x} - 4e^{x}}{x^2} נתונה. חקור את הפונקציה כדי למצוא את נקודות הקיצון באמצעות נגזרת ופתרון משוואה.

פונקציה מעריכיתכלל המנהפישוט משוואות

רמז: השתמש בכלל המנה, וצמצם גורמים משותפים לאחר הגזירה.

פתרון מלא

תשובה סופית: למצוא x שמקיימים f'(x)=0 לאחר פישוט משוואת הנגזרת.

תחילה גוזרים לפי כלל המנה: f'(x) = [(3e^{3x} - 4e^{x}) \, x^2 - (e^{3x} - 4e^{x}) \, 2x]/x^4. מפשטים, מוציאים גורמים משותפים ומציבים שווה ל-0 למצוא פתרונות, לאחר מכן בודקים תחום וסימני הנגזרת.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת נקודת קיצון בפונקציה מעריכית

חקירת הפונקציה f(x) = e^{2x} - 4e^{x}

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות הקיצון של הפונקציה
נתון 1
נתון 1
פונקציה f(x) = e^(2x) - 4e^(x)
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את הנגזרת של הפונקציה, נציב אותה שווה לאפס ונפתור את המשוואה.
נוסחה
נציב f'(x) = 0
2e^(2x) - 4e^(x) = 0
משוואה
נוציא גורם משותף 2e^{x}
נוציא גורם משותף 2e^{x}
2e^(x) (e^(x) - 2) = 02e^(x)(e^(x) - 2) = 0
פישוט
נבדוק מתי כל גורם שווה לאפס
נבדוק מתי כל גורם שווה לאפס
תוצאה
מסיימים בתשובה
נציב מספרים סמוכים ל-ln(2) ונבדוק אם הפונקציה עולה או יורדת
בדיקה
בדיקה קצרה
- להבין את כלל השרשרת לגזירת מעריכית
- ליישם כלל המנה במידת הצורך
- זהירות: שכחת להוציא גורם משותף לפני פתרון המשוואה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

בחירת שיטה

מצא את הנגזרת של הפונקציה

מה עושים

נגזור את הפונקציה f לפי x

למה

כי נקודות קיצון הן במקום שהנגזרת שווה לאפס

נשתמש בכלל השרשרת לנגזרת פונקציה מעריכית

נוסחה / הצבה

f'(x) = 2e^(2x) - 4e^(x)

מומלץ להיזהר עם פונקציות מעריכיות ומכפלה של פונקציית מעריכית בנגזרת

בניית משוואה

שווה את הנגזרת לאפס

מה עושים

נציב f'(x) = 0

למה

כדי למצוא נקודות קיצון יש לפתר את המשוואה

נגיע למשוואה של סדר ראשון ב-e בחזקת x

נוסחה / הצבה

2e^(2x) - 4e^(x) = 0

נצא מהנגזרת את הגורם המשותף להקל על הפתרון

פתרון

פישוט המשוואה והוצאת גורם משותף

מה עושים

נוציא גורם משותף 2e^{x}

למה

כדי לפשט המשוואה ולקבל משוואה פשוטה ב-e^{x}

התוצאה היא 2e^{x}(e^{x} - 2) = 0

נוסחה / הצבה

2e^(x) (e^(x) - 2) = 02e^(x)(e^(x) - 2) = 0

המשוואה מתאפסת כאשר שני האיברים שווים ל-0

פתרון

פתרון המשוואה

מה עושים

נבדוק מתי כל גורם שווה לאפס

למה

כדי למצוא את נקודות האפס של הנגזרת

2e^{x} = 0 אין פתרון כי e^{x} תמיד חיובי. e^{x} - 2 = 0 ⇒ e^{x} = 2 ⇒ x = ln(2)

יש לשים לב שאין פתרון מהגורם עם המכפלה 2e^{x}

בדיקה

ניתוח התנהגות הנגזרת סביב נקודת הקיצון

מה עושים

נציב מספרים סמוכים ל-ln(2) ונבדוק אם הפונקציה עולה או יורדת

למה

כדי לדעת אם היש נקודת מינימום או מקסימום

לדוגמה, x=0.6 (<ln2) ו-x=1 (>ln2). מחשבים את f'(x) בערכים אלה ובדיקה של סימניהם.

אפשר להשתמש במחשבון או בטבלה כדי לקבוע את סימן הנגזרת

תשובה

קביעה סופית של נקודות הקיצון

מה עושים

מסקנה: x = ln(2) היא נקודת קיצון והפונקציה יורדת משמאל ל-ln(2) ועולה מימין אליה, לכן מינימום מקומי.

למה

לפי סימני הנגזרת משמאל ומימין לנקודה שמצאנו

נקודת מינימום מקומי בפונקציה ב-x = ln(2)

שעור סופי חשוב בשרטוט גרף ופרשנות פונקציונלית

פתרונות כלליים

מציאת נקודות קיצון של פונקציה מעריכית פשוטה: f'(x) = 2e^{2x} - 4e^{x} = 2e^{x}(e^{x} - 2). שווה ל-0 כאשר 2e^{x} = 0 (אין פתרון) או e^{x} - 2 = 0 ⇒ e^{x} = 2 ⇒ x = ln(2). בלבד מעריכים את התנהגות הנגזרת סביב נקודה זו למצוא אם מדובר במקסימום או מינימום.
ניתוח נקודות קיצון ופישוט משוואה מעריכית: תחילה גוזרים לפי כלל המנה: f'(x) = [(3e^{3x} - 4e^{x}) \, x^2 - (e^{3x} - 4e^{x}) \, 2x]/x^4. מפשטים, מוציאים גורמים משותפים ומציבים שווה ל-0 למצוא פתרונות, לאחר מכן בודקים תחום וסימני הנגזרת.

הפריט הקודם הפריט הבא

א3. חקירה של פונקציה מעריכית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה מעריכית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודות הקיצון של הפונקציה

נתון 1

הרעיון המרכזי

נציב f'(x) = 0

נוציא גורם משותף 2e^{x}

נבדוק מתי כל גורם שווה לאפס

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

מצא את הנגזרת של הפונקציה

שווה את הנגזרת לאפס

פישוט המשוואה והוצאת גורם משותף

פתרון המשוואה

ניתוח התנהגות הנגזרת סביב נקודת הקיצון

קביעה סופית של נקודות הקיצון

פתרונות כלליים