השיעור עוסק בחקירה של פונקציה מעריכית הכוללת תחום הגדרה, חיתוך עם הצירים, זיהוי אסימפטוטות, והכנה לשרטוט האינטואיטיבי. מועסקים מונחים של גבולות וסקיצות על פי צעדים מחושבים ובקרה במחשבון.
להבין כיצד לקבוע תחום הגדרה של פונקציה מעריכית
לחקור חיתוך עם צירי הקואורדינטות
לזהות ולהגדיר אסימפטוטות (אופקית ואנכית)
להכין סקיצה אינטואיטיבית של גרף הפונקציה
להשתמש בבקרות מחשבון לזיהוי התנהגות הפונקציה בגדלים קיצוניים
תחום הגדרה וחיתוך עם הצירים: הגדרת תחום הפונקציה וסקירת חיתוך אפשרי עם ציר ה-X ו-Y.
אסימפטוטות ואוגנים: עבודה על הגדרת אסימפטוטות אנכיות ואופקיות תוך שימוש במגבלותגבול x שואף לערכים מסוימים.
בקרה ושרטוט אינטואיטיבי: שימוש במחשבון לחישובי ערכים קיצוניים והבנת התנהגות הפונקציה לקראת שרטוט.

תרגול קצר

חקירת תחום הגדרה ופונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציה מעריכית עם מכנים המונעים x=0 ו-x=ln3. חקור את תחום ההגדרה שלה.

תחום הגדרהפונקציה מעריכיתחיתוך עם צירים

רמז: בדוק מתי המכנים מתאפסים ואל תכלול נקודות אלו בתחום.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל x מימין ומאלץ פרט לx=0 ולx=ln3.

תחום ההגדרה הוא כל x למעט x=0 ו-x=ln3, מכיוון במקומות אלו המכנים מתאפסים והפונקציה אינה מוגדרת.

זיהוי אסימפטוטות אופקיות ואנכיות

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה פונקציה מעריכית הכוללת נקודות חסומות ב-x=0 ו-x=ln3. חשב את האסימפטוטות האנכיות והאופקיות של הפונקציה.

אסימפטוטותגבולותפונקציה מעריכית

רמז: חשב גבולות מימין ומשמאל לנקודות החסומות וכמו כן גבולות לאינסוף ולמינוס אינסוף.

פתרון מלא

תשובה סופית: אסימפטוטות אנכיות: x=0 ו-x=ln3; אסימפטוטות אופקיות: y=0 ו-y=-1.

אסימפטוטות אנכיות הן ב-x=0 ו-x=ln3. אסימפטוטות אופקיות הן y=0 וy=-1 בהתאם לגבולות ב-infinity ו-minus infinity.

בדיקת התנהגות הפונקציה בקצוות המרחב

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את הגבולות של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף ולקראת מינוס אינסוף בהתחשב בערכים של e בחזקות גדולות ושל הלוגריתם.

גבולותפונקציה מעריכיתהתנהגות פונקציה

רמז: חשוב לזכור שפונקציית e גדלה במהירות רבה, ויש להשוות גדלים יחסיים בין האיברים במונה ובמכנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: lim x→∞ f(x) = 0, lim x→-∞ f(x) = -1.

כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת ל-0, וכאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה שואפת ל- -1, בהתאם להתנהגות איברי הפונקציה במונים ומכנים.

חקירת פונקציה מעריכית – קביעת אסימפטוטות ותחום

רמת קושי: בגרות

ממתין

בחקירת פונקציה מעריכית נתונה נקודת אסימפטוטה אנכית ב-x=0 ואופקית ב-y=0. חקור את תחום ההגדרה והאסימפטוטות של הפונקציה.

בגרותאסימפטוטותתחום הגדרהפונקציה מעריכית

רמז: יש לבדוק מתי המכנה שווה לאפס ולחשב גבולות קרובים לנקודות חוסמות ולקצוות המרחב.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: x שונה מ-0; אסימפטוטות: אנכית x=0 ואופקית y=0.

תחום ההגדרה הוא כל x פרט ל-x=0. אסימפטוטה אנכית היא ב-x=0, אסימפטוטה אופקית היא ב-y=0 שמוסקת מגבול הפונקציה ב-x שואף לאינסוף.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לחקירת פונקציה מעריכית

שלבים פשוטים לזיהוי תחום, אסימפטוטות וגבולות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה / אסימפטוטות אנכיות ואופקיות / גבולות של הפונקציה באינסוף ומינוס אינסוף
נתון 1
נתון 1
נקודות חסומות ב-x=0 ו-x=ln3
נתון 2
פונקציה מעריכית עם מכנים במקומות אלו
רעיון
הרעיון המרכזי
נחקור את נקודות החסימה עבור תחום ההגדרה והגבולות מצד ימין ושמאל, נזהה את האסימפטוטות לפי
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
חשב את הגבולות כאשר x שואף ל-∞ ול-−∞
חשב את הגבולות כאשר x שואף ל-∞ ול-−∞
פישוט
נסח את תחום ההגדרה והאסימפטוטות האנכיות והאופקיות בהתאם לממצאים
נסח את תחום ההגדרה והאסימפטוטות האנכיות והאופקיות בהתאם לממצאים
תוצאה
מסיימים בתשובה
שרטט את הגרף בהתחשב בתחום, באסימפטוטות ובכיוון הגבולות

סקיצה תאפשר הבנה אינטואיטיבית של התנהגות הפונקציה.

השתמש בנקודות מייצגות ובכיוון אסימפטוטות לשרטוט מדויק.

פתרונות כלליים

חקירת תחום הגדרה ופונקציה: תחום ההגדרה הוא כל x למעט x=0 ו-x=ln3, מכיוון במקומות אלו המכנים מתאפסים והפונקציה אינה מוגדרת.
זיהוי אסימפטוטות אופקיות ואנכיות: אסימפטוטות אנכיות הן ב-x=0 ו-x=ln3. אסימפטוטות אופקיות הן y=0 וy=-1 בהתאם לגבולות ב-infinity ו-minus infinity.
בדיקת התנהגות הפונקציה בקצוות המרחב: כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת ל-0, וכאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה שואפת ל- -1, בהתאם להתנהגות איברי הפונקציה במונים ומכנים.
חקירת פונקציה מעריכית – קביעת אסימפטוטות ותחום: תחום ההגדרה הוא כל x פרט ל-x=0. אסימפטוטה אנכית היא ב-x=0, אסימפטוטה אופקית היא ב-y=0 שמוסקת מגבול הפונקציה ב-x שואף לאינסוף.

הפריט הקודם הפריט הבא

א1. חקירה של פונקציה מעריכית ת.ה אסימפטוטת חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה מעריכית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה / אסימפטוטות אנכיות ואופקיות / גבולות של הפונקציה באינסוף ומינוס אינסוף

נתון 1

פונקציה מעריכית עם מכנים במקומות אלו

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

חשב את הגבולות כאשר x שואף ל-∞ ול-−∞

נסח את תחום ההגדרה והאסימפטוטות האנכיות והאופקיות בהתאם לממצאים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

זיהוי נקודות החסימה

חשוב גבולות ליד נקודות החסימה

חשב את הגבולות באינסוף ובמינוס אינסוף

סכם את תחום ההגדרה והאסימפטוטות

שרטט סקיצה ראשונית של הפונקציה

פתרונות כלליים