MMATH
התחברות

וידאו · חקירה מעריכית

ב2. חקירה של פונקציה מעריכית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

293 פריטים · 19 נושאים0%
5 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א6. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

א7. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

א8. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ב1. חקירה של פונקציה מעריכית ת.ה אסימפטוטת חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

וידאו

ב2. חקירה של פונקציה מעריכית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

וידאו

ב3. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ב4. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ב5. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

סיכום נוסחאות גזירה ותחומי הגדרה

סיכום שיעור

  • נלמד כיצד לבצע חקירה של פונקציה מעריכית באמצעות גזירת פונקציה מורכבת הכוללת מונה ומכנה, מציאת נקודות קיצון על ידי חישוב נגזרת והערכת סימני הנגזרת במכשיר מחשבון.
  • לזכור ולבצע נגזרת של פונקציה מנות עם מונה ומכנה
  • להוציא גורמים משותפים בנגזרת לצורך פישוט
  • להשתמש במחשבון להערכת ערכי פונקציה ונגזרת בערכים נתונים
  • לנתח את סימני הנגזרת כדי לאפיין נקודות קיצון
  • חישוב נגזרת של פונקציה מנות: ביצוע נגזרת של פונקציה נתונה במונה ובמכנה לפי כלל המנה, תוך תיעוד כל שלב וחישוב הנגזרת של המכנה והמונה בנפרד.
  • פישוט הנגזרת והכנה לניתוח: הוצאת גורמים משותפים מהנגזרת כדי לקבל ביטוי פשוט יותר, כולל זיהוי ועבודה עם חזקות של מקדמים ומשתנים.
  • שימוש במחשבון להערכת ערכי הנגזרת: קביעת ערכי הנגזרת בנקודות שונות עם מחשבון למדידת סימני ירידה ועלייה של הפונקציה.
  • אפיון נקודות קיצון: כתיבת ויזואלית של סימני הנגזרת המשתנה בין נקודות כדי לאפיין מינימום ומקסימום, כולל כתיבה של מינוס ופלוס.

תרגול קצר

מציאת נקודות קיצון לפונקציה עם מונה ומכנה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = (2x^2 - 3x + 1) / (x - 4). חשב את הנגזרת, מצא את תחום ההגדרה, ומצא את נקודות הקיצון של הפונקציה.

נגזרתנקודות קיצוןפונקציה מעריכיתכלל המנה

רמז: השתמש בכלל המנה לחישוב הנגזרת. בדוק איפה הפונקציה אינה מוגדרת. עבור נקודות קריטיות, בדוק סימנים של הנגזרת משמאל ומימין לכל נקודה.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל x פרט ל-x=4 נקודות קיצון בקירוב ב-x ≈ 0.76 (מינימום), ו-x ≈ 7.24 (מקסימום או מינימום לפי סימן הנגזרת)

1. חשב נגזרת לפי כלל המנה: u = 2x^2 - 3x +1, v = x -4 u' = 4x -3, v' = 1 f'(x) = ((4x -3)(x -4) - (2x^2 - 3x +1)(1)) / (x -4)^2 פשט את המונה: = (4x^2 -16x -3x +12 - 2x^2 +3x -1) / (x -4)^2 = (2x^2 -16x +11) / (x -4)^2 2. תחום ההגדרה: x ≠ 4 3. נקודות קריטיות הן כאשר f'(x) = 0, כלומר 2x^2 -16x +11 = 0 פתור משוואה ריבועית: דלתא = 256 - 88 = 168 x = (16 ± √168)/4 קירוב השורש √168 ≈ 12.96 x1 ≈ (16 - 12.96)/4 = 0.76 x2 ≈ (16 + 12.96)/4 = 7.24 4. בדוק סימני הנגזרת משמאל ומימין כדי לקבוע סוג נקודה קיצון.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת נקודות קיצון לפונקציה מנה

שלבים פשוטים לפתרון תרגיל נגזרת פונקציה מנה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא נגזרת הפונקציה f'(x) / תחום ההגדרה / נקודות הקיצון של הפונקציה

  2. נתון 1

    נתון 1

    פונקציה f(x) = (2x^2 - 3x + 1) / (x - 4)
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    יש לחשב את נגזרת הפונקציה לפי כלל המנה, למצוא איפה הנגזרת שווה ל-0 בטווח ההגדרה ולבחון סימנים

  4. נוסחה

    פתור משוואה ריבועית 2x² -16x +11 = 0 תחת תחום ההגדרה x≠4

    2x^2 - 16x + 11 = 0
  5. משוואה

    חשב נגזרת של u ו-v בנפרד ואת הנגזרת בעזרת כלל המנה

    חשב נגזרת של u ו-v בנפרד ואת הנגזרת בעזרת כלל המנה

  6. פישוט

    הזן את הנגזרות למשוואת כלל המנה ופשט את המונה

    הזן את הנגזרות למשוואת כלל המנה ופשט את המונה

  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    פתח סוגריים וחבר מונחים דומים

  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • הבנת כלל הנגזרת של פונקציה מנה
    • יכולת לפשט ביטויים אלגבריים
    • זהירות: שכחה לחלוק בריבוע המכנה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הפונקציה הנתונה

מה עושים

הפונקציה היא מנה של פולינומים פשוטים

למה

כדי להתחיל, יש לדעת את צורת הפונקציה הנתונה

f(x) = (2x^2 - 3x + 1) חלקי (x - 4)

2

בחירת שיטה

השתמש בכלל המנה לנגזרת

מה עושים

נחיל את כלל המנה: נגזרת המונה כפול המכנה פחות מונה כפול נגזרת המכנה חלקי המכנה בריבוע

למה

זוהי הדרך הנכונה לגזור פונקציה כמנה

נוסחה / הצבה

נגזרת המונה כפול המכנה פחות מונה כפול נגזרת המכנהחלקי המכנה בריבוע(u/v)' = (u'v - uv')/v^2((u)/(v))' = (u'v - uv')/(v^2)
3

בניית משוואה

חשב נגזרת מונה ומכנה

מה עושים

חשב נגזרת של u ו-v בנפרד ואת הנגזרת בעזרת כלל המנה

למה

כך יכולים להחליף במשוואה ולחשב

u = 2x^2 - 3x + 1 u' = 4x - 3 v = x - 4 v' = 1

זכור את נגזרת החזקות והקבועים

4

פתרון

כתוב את הנגזרת f'(x)

מה עושים

הזן את הנגזרות למשוואת כלל המנה ופשט את המונה

למה

קלי יותר לפתור את פישוט הנגזרת בשלב זה

f'(x) = ((4x - 3)(x - 4) - (2x^2 - 3x + 1)) / (x - 4)^2

5

פתרון

פשט את המונה של הנגזרת

מה עושים

פתח סוגריים וחבר מונחים דומים

למה

פישוט מביא לנוסחה נוחה לפתרון

2x^2 - 16x + 11

בדוק תמיד טעות חישוב

6

פתרון

מצא את נקודות קריטיות לפי הנגזרת

מה עושים

פתור משוואה ריבועית 2x² -16x +11 = 0 תחת תחום ההגדרה x≠4

למה

נקודות בהן הנגזרת שווה ל-0 הן נקודות קיצון פוטנציאליות

נוסחה / הצבה

2x^2 - 16x + 11 = 0

פתרונות כלליים

  • מציאת נקודות קיצון לפונקציה עם מונה ומכנה: 1. חשב נגזרת לפי כלל המנה: u = 2x^2 - 3x +1, v = x -4 u' = 4x -3, v' = 1 f'(x) = ((4x -3)(x -4) - (2x^2 - 3x +1)(1)) / (x -4)^2 פשט את המונה: = (4x^2 -16x -3x +12 - 2x^2 +3x -1) / (x -4)^2 = (2x^2 -16x +11) / (x -4)^2 2. תחום ההגדרה: x ≠ 4 3. נקודות קריטיות הן כאשר f'(x) = 0, כלומר 2x^2 -16x +11 = 0 פתור משוואה ריבועית: דלתא = 256 - 88 = 168 x = (16 ± √168)/4 קירוב השורש √168 ≈ 12.96 x1 ≈ (16 - 12.96)/4 = 0.76 x2 ≈ (16 + 12.96)/4 = 7.24 4. בדוק סימני הנגזרת משמאל ומימין כדי לקבוע סוג נקודה קיצון.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.