במפגש זה חקרנו משוואה טריגונומטרית מסוג tan(x) = 2x והתמקדנו בכמות הפתרונות בתחום הנתון, באמצעות הבנת חיתוכים עם ציר x וניתוח גרף פונקציית ההפרש.
לזהות ולנתח פתרונות למשוואות טריגונומטריות בתחום מוגדר
להבין את משמעות החיתוך עם ציר x במשוואה טריגונומטרית
ליישם חשיבה גרפית להבנת פתרונות משוואות שלא ניתנות לפתרון אלגבראי פשוט
להבחין בין סעיפי חשיבה לסעיפי חישוב בחקירת פונקציה
הבנת המשוואה: המשוואה tan(x) = 2x מייצגת נקודות חיתוך בין פונקציית הטנגנס לפונקציה הקווית 2x. מציאת פתרונות המשוואה שווה למציאת נקודות חיתוך עם ציר x של ההפרש בין הפונקציות.

תרגול קצר

מציאת מספר פתרונות למשוואה טריגונומטרית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה המשוואה tan(x) = 2x. כמה פתרונות יש למשוואה בתחום הממשי? הסבר.

טריגונומטריהמשוואות טריגונומטריותגרפיםחיתוך פונקציות

רמז: חשוב להבין שהמשוואה מתארת נקודות חיתוך בין פונקציות. נסו לזהות את נקודות החיתוך באמצעות הסבר גרפי.

פתרון מלא

תשובה סופית: למשוואה יש 3 פתרונות בתחום הנתון.

השוואת tan(x) ל-2x משמעותה למצוא איפה הפונקציות נפגשות. עבור תחום כל המספרים הממשיים, הפונקציה טנגנס מתאפיינת במחזורים וצורות עם נקודות אי-הגדרה, אך כמות הפתרונות בתחום תלויה בריקבון בין הפונקציות. לפי השיעור ויש בידינו גרף, ניתן לזהות שלוש נקודות חיתוך, לפיכך יש שלוש פתרונות למשוואה בתחום הנתון.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד לקבוע את מספר הפתרונות למשוואה tan(x) = 2x

הבנת חיתוכים עם ציר x כמפתח לפתרונות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מספר הפתרונות למשוואה בתחום הנתון
נתון 1
נתון 1
המשוואה tan(x) = 2x
נתון 2
תחום ממשי שבו נבדקים הפתרונות
רעיון
הרעיון המרכזי
למצוא את נקודות החיתוך של הפונקציות על ידי מציאת חיתוכים עם ציר x של הפונקציה tan(x) פחות 2x
נוסחה
נבדוק איפה הפונקציה f חוצה את ציר x
f(x) = 0
משוואה
המשוואה tan(x) שווה 2x בתחום ממשי נתון
המשוואה tan(x) שווה 2x בתחום ממשי נתון
פישוט
מתבוננים בגרף הפונקציה ומגלים את מספר החיתוכים עם ציר x
מתבוננים בגרף הפונקציה ומגלים את מספר החיתוכים עם ציר x
תוצאה
מסיימים בתשובה
מסכמים כי יש כ-3 פתרונות בתחום הנתון

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הבנת הנתונים

מה עושים

המשוואה tan(x) שווה 2x בתחום ממשי נתון

למה

זו הבסיס להבנת הבעיה והתחום בו מחפשים פתרונות

מבינים כי פתרון המשוואה הוא איפה שטנגנס x שווה 2x.

זכרו שטנגנס היא פונקציה מחזורית עם נקודות אי-הגדרה

בחירת שיטה

הגדרת פונקציה חדשה

מה עושים

נגדיר פונקציה f(x) שווה tan(x) פחות 2x

למה

כדי למצוא פתרונות משוואה, נבדוק איפה f(x) שווה אפס

f(x) שווה tan(x) פחות 2x, הפתרונות הם שורשי f

נוסחה / הצבה

f(x) = tan(x) - 2xf(x) = (x) - 2x

חשוב לזכור שלפונקציה זו יש נקודות אי-הגדרה

בניית משוואה

השוואת f(x) ל-0

מה עושים

נבדוק איפה הפונקציה f חוצה את ציר x

למה

נקודות חיתוך עם ציר x הן פתרונות למשוואה

הפתרונות הם נקודות שבהן f(x) = 0

נוסחה / הצבה

f(x) = 0

השוו ערכי פונקציה לנקודות החוק

פתרון

בחינת גרף הפונקציה

מה עושים

מתבוננים בגרף הפונקציה ומגלים את מספר החיתוכים עם ציר x

למה

גרף מאפשר זיהוי ויזואלי של הפתרונות

לפי הגרף יש 3 נקודות חיתוך

זכרו כי כל חיתוך מייצג פתרון אחד

תשובה

קביעת מספר הפתרונות

מה עושים

מסכמים כי יש כ-3 פתרונות בתחום הנתון

למה

זיהוי נקודות חיתוך הוא מהות הפתרון

קיים שלושה פתרונות למשוואה בתחום הנתון

זכרו שזה בהתאם לניתוח הגרפי ולא פתרון אלגברי ישיר

פתרונות כלליים

מציאת מספר פתרונות למשוואה טריגונומטרית: השוואת tan(x) ל-2x משמעותה למצוא איפה הפונקציות נפגשות. עבור תחום כל המספרים הממשיים, הפונקציה טנגנס מתאפיינת במחזורים וצורות עם נקודות אי-הגדרה, אך כמות הפתרונות בתחום תלויה בריקבון בין הפונקציות. לפי השיעור ויש בידינו גרף, ניתן לזהות שלוש נקודות חיתוך, לפיכך יש שלוש פתרונות למשוואה בתחום הנתון.

הפריט הקודם הפריט הבא

ו4. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מספר הפתרונות למשוואה בתחום הנתון

נתון 1

תחום ממשי שבו נבדקים הפתרונות

הרעיון המרכזי

נבדוק איפה הפונקציה f חוצה את ציר x

המשוואה tan(x) שווה 2x בתחום ממשי נתון

מתבוננים בגרף הפונקציה ומגלים את מספר החיתוכים עם ציר x

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הבנת הנתונים

הגדרת פונקציה חדשה

השוואת f(x) ל-0

בחינת גרף הפונקציה

קביעת מספר הפתרונות

פתרונות כלליים