בסקירה זו נחקרת פונקציה טריגונומטרית ופועלים להבנת נקודות הקצה, חיתוכים עם הצירים, חישוב נגזרת ופתרון משוואות טריגונומטריות פשוטות.
להבין את התנהגות הפונקציה בנקודות הקצה 0 ו-2 פאי
לחשב נגזרת של פונקציה טריגונומטרית מורכבת
לבחון פתרונות של משוואות טריגונומטריות פשוטות
להתמודד עם חזקה של פונקציות טריגונומטריות
לזהות מקרים מיוחדים של שורשי סינוס וקוסינוס
להכין לאירגון פתרון לתרגילים עם שימוש במחשבון במידת הצורך
נקודות קצה של הפונקציה: הפונקציה מתנהגת כך שבנקודת האפס ערכה מינוס אחד, וכך גם בנקודה 2 פאי.
חישוב נגזרת: מחשבים נגזרת של הפונקציה הכוללת חזקת קוסינוס וסינוס, ומוציאים גורמים משותפים כדי למצוא נקודות קריטיות.
פתרון משוואות טריגונומטריות: נבחנות המשוואות סינוס x=0 והמשוואה עם הקוסינוס בחזקה שלישית, ונמצאים פתרונות לעזרת המחשבון ולמקרים מיוחדים.

תרגול קצר

חישוב ערך הפונקציה בנקודות קצה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את ערך הפונקציה בנקודות x=0 ו-x=2 פאי כאשר הפונקציה מתקיימת בערכים שנאמרו בשיעור.

נקודות קצהערכי פונקציה

רמז: בדוק את הערכים שהפונקציה לוקחת באפס וב-2 פאי מהנקודות שנאמרו.

פתרון מלא

תשובה סופית: f(0) = -1 f(2π) = -1

לפי התיאור, הפונקציה ב-0 שווה מינוס אחד וב-2 פאי שווה מינוס אחד.

מציאת נקודות קריטיות של פונקציה טריגונומטרית

רמת קושי: בינוני

ממתין

גזור את הפונקציה y = cos^4 x וחפש את נקודות הקצה שלה בתחום [0, 2π].

נגזרתנקודות קריטיותפונקציה טריגונומטרית

רמז: השתמש בכלל השרשרת לנגזרת והוצא גורמים משותפים לפישוט.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קריטיות ב-0, π/2, π, 3π/2, 2π

הנגזרת היא y' = -4 cos^3 x sin x. מוצא גורם משותף מינוס סינוס x ומקבל y' = - sin x (4 cos^3 x). פיתרון הנגזרת = 0 כאשר sin x = 0 או cos x = 0. sin x=0 ב- x = kπ cos x=0 ב- x = π/2 + kπ בודק את התחום ומצא את הנקודות המתאימות.

פתרון משוואה טריגונומטרית מורכבת

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פתור את המשוואה 1 + 8 cos^3 x = 0 בתחום [0, 2π].

משוואה טריגונומטריתקוסינוספתרון

רמז: בודק כאשר cos^3 x = -1/8 ומוצא את השורש השלישי של שמונה.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 2π/3, 4π/3

1 + 8 cos^3 x = 0 => 8 cos^3 x = -1 => cos^3 x = -1/8 => cos x = -1/2 פתרון cos x = -1/2 ב x = 2π/3 ו- 4π/3 בתחום [0, 2π].

חקר פונקציה טריגונומטרית ואיתור נקודות חיתוך עם הצירים

רמת קושי: בגרות

ממתין

חקור את הפונקציה y = cos^4 x בתחום [0, 2π]: מצא את ערכי הפונקציה בנקודות הקצה, את הנגזרת שלה, ואת נקודות הקיצון בתחום.

חקירה פונקציונליתנקודות קצהנגזרתנקודות קיצוןטריגונומטריה

רמז: השתמש בנוסחת הנגזרת ופצל את הנגזרת לגורמים, בדוק אפסים של כל גורם בנפרד.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קצה: (0,1), (2π,1) נקודות קיצון ב: π/2, 3π/2 (0, π קבועים)

נקודות קצה: f(0) = cos^4 0 = 1, f(2π) = 1 נגזרת: y' = -4 cos^3 x sin x = - sin x (4 cos^3 x) נקודות קריטיות: sin x=0 → x=0, π, 2π; או cos x=0 → x=π/2, 3π/2 חישוב ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות ייתן נקודות קיצון.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת פונקציה טריגונומטרית – מציאת נקודות קריטיות

שלבים לפתרון נגזרת ופתרון משוואות פונקציה y = cos^4 x

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות קיצון של הפונקציה בתחום הנתון
נתון 1
נתון 1
y = cos^4 x
נתון 2
תחום: 0 ≤ x ≤ 2π
רעיון
הרעיון המרכזי
חשב נגזרת, פתר משוואת הנגזרת השווה לאפס ומצא את הנקודות בתחום.
נוסחה
y' = -4 cos^3 x sin x; פתר משוואה y' = 0
y' = -4 cos^3 x sin xy' = -4cos^(3) x x
משוואה
פתור sin x=0 ו-cos x=0 בתחום
פתור sin x=0 ו-cos x=0 בתחום
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
ציין את הקואורדינטות של נקודות הקיצון בהתבסס על x

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה והתחום

מה עושים

y = cos^4 x בתחום 0 עד 2π

למה

מגדירים מראש את תחום הפונקציה להתייחסות לפתרונות.

הפונקציה היא חזקה של הקוסינוס ולכן לוקחת ערכים בין 0 ל-1.

בחירת שיטה

חישוב הנגזרת

מה עושים

חשב נגזרת של y = cos^4 x באמצעות כלל השרשרת

למה

הנגזרת תעזור לנו למצוא נקודות קריטיות שבהן הנגזרת שווה לאפס.

השתמש בכלל החזקה ונגזרת הקוסינוס

בניית משוואה

כתיבת נגזרת ומשוואת אפס

מה עושים

y' = -4 cos^3 x sin x; פתר משוואה y' = 0

למה

נקודות קריטיות מתקיימות כאשר הנגזרת שווה אפס.

נמצא פתרונות כאשר sin x=0 או cos x=0

נוסחה / הצבה

y' = -4 cos^3 x sin xy' = -4cos^(3) x x

מוציאים גורם משותף כדי לפשט

פתרון

פתרון המשוואה עבור x

מה עושים

פתור sin x=0 ו-cos x=0 בתחום

למה

פסגות ועמקים לפונקציה יופיעו בנקודות בהם הנגזרת מתאפסת

sin x=0 ב-0, π, 2π ; cos x=0 ב- π/2, 3π/2

תשובה

נקודות קיצון בתחום

מה עושים

ציין את הקואורדינטות של נקודות הקיצון בהתבסס על x

למה

אתה זקוק לערכים אלו להבנת התנהגות הפונקציה

פונקציה מקבלת מינימום ומקסימום בנקודות שצוינו

פתרונות כלליים

חישוב ערך הפונקציה בנקודות קצה: לפי התיאור, הפונקציה ב-0 שווה מינוס אחד וב-2 פאי שווה מינוס אחד.
מציאת נקודות קריטיות של פונקציה טריגונומטרית: הנגזרת היא y' = -4 cos^3 x sin x. מוצא גורם משותף מינוס סינוס x ומקבל y' = - sin x (4 cos^3 x). פיתרון הנגזרת = 0 כאשר sin x = 0 או cos x = 0. sin x=0 ב- x = kπ cos x=0 ב- x = π/2 + kπ בודק את התחום ומצא את הנקודות המתאימות.
פתרון משוואה טריגונומטרית מורכבת: 1 + 8 cos^3 x = 0 => 8 cos^3 x = -1 => cos^3 x = -1/8 => cos x = -1/2 פתרון cos x = -1/2 ב x = 2π/3 ו- 4π/3 בתחום [0, 2π].
חקר פונקציה טריגונומטרית ואיתור נקודות חיתוך עם הצירים: נקודות קצה: f(0) = cos^4 0 = 1, f(2π) = 1 נגזרת: y' = -4 cos^3 x sin x = - sin x (4 cos^3 x) נקודות קריטיות: sin x=0 → x=0, π, 2π; או cos x=0 → x=π/2, 3π/2 חישוב ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות ייתן נקודות קיצון.

הפריט הקודם הפריט הבא

ז2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית ת.ה חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודות קיצון של הפונקציה בתחום הנתון

נתון 1

תחום: 0 ≤ x ≤ 2π

הרעיון המרכזי

y' = -4 cos^3 x sin x; פתר משוואה y' = 0

פתור sin x=0 ו-cos x=0 בתחום

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה והתחום

חישוב הנגזרת

כתיבת נגזרת ומשוואת אפס

פתרון המשוואה עבור x

נקודות קיצון בתחום

פתרונות כלליים