וידאו · חקירה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ו8. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב
ו9. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב
ז1. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת פרמטרים בקרה במחשבון
ז2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית ת.ה חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון
ז3. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון
בדיקת סימני נגזרת בנקודות לאורך הציר
רמת קושי: קל
נתונה פונקציה עם נגזרת y' = -sin(αx) * (1 - 8*cos(αx)^3). הצב את הערכים x = 0, π/3, π, 5π/3 בנגזרת וחסר את סימני y'.
רמז: הכנס את הערכים לנגזרת, זכור לעבוד ברדיאנים וחשב כל ביטוי בשיקול דעת.
תשובה סופית: x=0 ↔ y'=0 x=π/3 ↔ y'>0 (כמוצע בהצבה) x=π ↔ y'<0 x=5π/3 ↔ y'<0
נציב בנגזרת את הערכים: - עבור x = 0, y' = -sin(0)*(1-8cos^3(0)) = 0 - עבור x = π/3, חשב sin(π/3) וקוסינוס(π/3), הצב בנגזרת - עבור x = π, חשב sin(π) וקוסינוס(π), הצב בנגזרת - עבור x = 5π/3 חשב sin(5π/3), קוסינוס(5π/3), הצב בנגזרת והסק את הסימן.
זיהוי נקודות קיצון על פי שינוי סימן הנגזרת
רמת קושי: בינוני
בהינתן פונקציה y עם נגזרת כפי שניתנה, סמן את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה על פי הנקודות 0, π/3, π, 5π/3, וציין היכן קיימות נקודות קיצון.
רמז: עקוב אחרי סימני y' בין נקודות ההצבה ונסה להבין האם הפונקציה עולה או יורדת.
תשובה סופית: נקודות קיצון ב-0, π/3 ו-π. עלייה בין 0 ל-π/3 וירידה לאחר מכן.
על ידי הצבת הנקודות בנגזרת והשוואת הסימנים בין הערכים, נקבל: - מ-0 ל-π/3 הפונקציה עולה (y'>0) - מ-π ל-5π/3 הפונקציה יורדת (y'<0) נקודות קיצון הן בנקודות בהן הנגזרת משנה סימן וחולקות לפי שיפוע 0.
חקירת נקודות הקיצון בציור מדויק
רמת קושי: מאתגר
שרטט סקיצה מדויקת של פונקציה טריגונומטרית בהתחשב בנקודות הקיצון ובקצוות התחום המצוינים, תוך שמירת שיפוע אפס בנקודות אלו.
רמז: הבן את השינוי בסימן נגזרת ושים לב לנקודות הקצה שנחשבות גם הן לקיצון.
תשובה סופית: סקיצה הממחישה קו עם נקודות קיצון ב-0, π/3, 5π/3 ועם שיפוע אפס בקצוות.
בהינתן הניתוח הקודם, שרטוט צריך להראות פונקציה היורדת, עולה, יורדת שוב בהתאם לשינוי הסימנים. נקודות הקצה מסומנות כנושאות שיפוע אפס ולכן נקודות קיצון. הקפד על שרטוט מדויק עם נקודות סימון של π/3 ו-5π/3 באזור המתאים.
מציאת נקודות קיצון לנגזרת פונקציה טריגונומטרית
רמת קושי: בגרות
נתונה פונקציה y עם נגזרת y' = -sin(αx)(1 - 8cos^3(αx)). קבע באילו נקודות בתחום [0, 2π] הפונקציה מגיעה לנקודות קיצון. השתמש בהצבת ערכים בנקודות חשובות.
רמז: השווה את סימני הנגזרת לפני ואחרי נקודות ההצבה ואת קצות התחום.
תשובה סופית: נקודות קיצון ב-0, π/3, 5π/3 בטווח הנתון.
1. הצב x=0, π/3, π, 5π/3 בנגזרת. 2. חשב סימני הנגזרת בנקודות אלו. 3. נקודות קיצון הן נקודות שבהן הנגזרת משתנה סימנה וכן נקודות קצה עם שיפוע אפס. 4. תחום ההגדרה הוא [0, 2π], לכן יש לשקול גם את הנקודות הקצה.
חקירת פונקציה באמצעות נגזרת והצבת ערכים
נגזרת הפונקציה y' = -sin(αx) * (1 - 8*cos(αx)^3)נמציא את סימני הנגזרת בנקודות מפתח, ואז נבדוק מתי היא משנה סימן ונסמן את נקודות הקיצון.
y' = -sin(αx) * (1 - 8*cos(αx)^3)y' = -( x) x (1 - 8 ^3( x))נזהה את הנגזרת הנתונה ואת נקודות ההצבה בתחום.
נבחן מתי הנגזרת משתנה מסימן שלילי לחיובי ולהפך.
נסמן על הציר את הנקודות בהן נמצאו שינויי סימן בנגזרת והנקודות הקצה כנקודות קיצון.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נזהה את הנגזרת הנתונה ואת נקודות ההצבה בתחום.
למה
מכירים את נוסחת הנגזרת שעליה נעבוד ואת הנקודות החשובות להצבה.
הנגזרת משולבת מסינוס וקוסינוס, עלינו לעבוד ברדיאנים ולהציב ערכים בנקודות מפתח.
בחירת שיטה
מה עושים
נציב בנגזרת את הערכים 0, π/3, π, 5π/3 ונחשב כל ביטוי.
למה
הכנת סדרת נתונים שתאפשר זיהוי סימני הנגזרת בכל נקודה.
בכל נקודה נחשב את ערך הנגזרת כדי לבדוק אם שיפוע הפונקציה חיובי או שלילי.
יש להשתמש במחשבון מודד רדיאנים.
בניית משוואה
מה עושים
נחשב את הערכים של -sin(αx)*(1-8*cos(αx)^3) בנקודות השונות.
למה
כדי לדעת האם הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום ביניהן.
בדיקה זו מקבלת את הסימנים בציון מדויק של כל נקודה.
נוסחה / הצבה
y' = -sin(αx) * (1 - 8*cos(αx)^3)y' = -( x) x (1 - 8 ^3( x))פתרון
מה עושים
נבחן מתי הנגזרת משתנה מסימן שלילי לחיובי ולהפך.
למה
שינוי סימן בנגזרת מציין נקודת קיצון בפונקציה.
נקודות אלו הן המועמדים להגדיר כנקודות מקסימום או מינימום.
תשובה
מה עושים
נסמן על הציר את הנקודות בהן נמצאו שינויי סימן בנגזרת והנקודות הקצה כנקודות קיצון.
למה
הנקודה שבה השיפוע מתאפס והנגזרת משנה סימן הינה נקודת קיצון.
סקיצה תסייע להבהיר את מיקום הנקודות ותנועת הפונקציה ביניהן.