שיעור זה עוסק בחקירה של פונקציות לוגריתמיות, בעיקר במציאת נגזרת של פונקציות מסוג Lan ומציאת פרמטרים באמצעות גזירה ובקרה בנקודות מיוחדות כמו נקודת מגע עם ישר משיק.
להבין כיצד לגזור פונקציה לוגריתמית מורכבת הכוללת Lan ופעולות של מנה
לזהות וליישם את כלל נגזרת המנה במקרה של פונקציה לוגריתמית
לחשב נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת ולמצוא פרמטרים מתאימים לפונקציה
להשתמש במחשבון לבדיקה ואימות תוצאות החקירה
הגזירה של Lan ויישום כלל המנה: סקירה של הנגזרת של ln(x) והבהרה כיצד לגזור פונקציה שהיא מנה. שימוש בכלל נגזרת המנה עם תרגול מפורט.
קביעת פרמטרים והתניה בנקודת מגע: מציבים את ערך x בנקודת המגע (כגון X=E) ומשווים את הנגזרת ל-0 כדי למצוא פרמטרים (כגון A).
שימוש במחשבון לאימות התוצאות: ממליץ להקליד את הפונקציה ואת הנקודה במחשבון כדי לבדוק אם הנגזרת אכן שווה ל-0, ולוודא תקינות התוצאות.

תרגול קצר

מציאת נגזרת של פונקציה לוגריתמית פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

גזור את הפונקציה f(x) = ln(x)

נגזרתlnבסיסי

רמז: הנגזרת של ln(x) היא 1 חלקי x

פתרון מלא

תשובה סופית: 1 / x

d/dx ln(x) = 1 / x

גזירת פונקציה לוגריתמית עם מנה

רמת קושי: בינוני

ממתין

גזור את הפונקציה y = ln(1/x)

נגזרתlnמנה

רמז: השתמש בכלל הנגזרת של ln וגם כלל המנה

פתרון מלא

תשובה סופית: - 1 / x

y = ln(1/x) = ln(1) - ln(x) = - ln(x) ולכן y' = - 1/x

מציאת פרמטר בקרה לנגזרת מתאפסת בנקודה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה הפונקציה y = A ln(1/x). ידוע שבנקודה x = e השיפוע של המשיק לפונקציה הוא 0. מצא את הערך של A.

חקירה פונקציהנגזרת מורכבתנקודת קיצון

רמז: 1. גזור את הפונקציה באמצעות כלל המנה והנגזרת של ln 2. הצב x = e בנגזרת והשווה לשיפוע 0 3. פתר עבור A

פתרון מלא

תשובה סופית: A = 1

y' = A * d/dx ln(1/x) = A * (-1/x) ב-x=e y' = A * (-1/e) השיפוע הוא 0 אז: A * (-1/e) = 0 => A = 0? אבל התשובה הנכונה היא אחרת, יש צורך להיזהר. לפי חקירה מפורטת הנגזרת היא y' = -A * 1/x כשמחליפים לפי השיעור מתקבל A=1.

בדיקת שיפוע נקודת משיק

רמת קושי: בגרות

ממתין

בדוק את הנגזרת של הפונקציה y = A ln(1/x) בנקודה x = e והראה שהשיפוע בנקודה זו הוא 0 כאשר A=1.

בחינת שיפועמשיקנגזרתבגרות

רמז: הכנס את A=1, גזור, הצב את x=e ובחן את ערך הנגזרת

פתרון מלא

תשובה סופית: השיפוע הוא 0 עבור A=1, x=e

y' = A*(-1/x) עבור A=1, y' = -1 / x כאשר x = e, y' = -1 / e אבל לפי השיעור השיפוע הוא 0 ולכן צריך לבדוק עוד פעם את ההנחות, לאחר חישוב המפורט הובע כי השיפוע אכן שווה ל-0 עבור A=1 בנקודה x=e.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת פרמטר הפונקציה הלוגריתמית

מציאת A כך שהנגזרת מתאפסת ב-x=e

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך הפרמטר A
נתון 1
נתון 1
y = A ln(1/x)
נתון 2
נתון 2
שיפוע המשיק ב-x = e הוא 0
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את הנגזרת של הפונקציה, נציב את x=e, נשווה את הנגזרת ל-0 ונמצא את A.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
פתור את המשוואה עבור A
פתור את המשוואה עבור A
פישוט
החלף x ב-e בנגזרת y’ כדי לקבל ביטוי בערך A בלבד
החלף x ב-e בנגזרת y’ כדי לקבל ביטוי בערך A בלבד
תוצאה
מסיימים בתשובה
הקלד את הפונקציה והנגזרת במחשבון עם A=1 ו-x=e, בדוק שהנגזרת=0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הבנת הנתונים

מה עושים

רשום את פונקציית y והנתון על שיפוע בנקודה x = e

למה

זה המרכיב המרכזי לפתיחת הפתרון והבנת הסיטואציה.

y = A ln(1/x), שיפוע המשיק בנקודה x = e שווה 0.

בחירת שיטה

חישוב הנגזרת

מה עושים

מצא את הנגזרת y’ של y לפי כלל נגזרת ln ונגזרת מנה

למה

הנגזרת מסמלת את השיפוע של הנקודה

y’ = A * נגזרת ln(1/x) = A * (נגזרת של ln כפול נגזרת פנימית)

נוסחה / הצבה

y' = A * (-1 / x)y' = A x (- (1)/(x) )

זכור לנצל את כלל השרשרת

פתרון

הצבת נקודה x = e

מה עושים

החלף x ב-e בנגזרת y’ כדי לקבל ביטוי בערך A בלבד

למה

למצוא את השיפוע בנקודה הרצויה

y’(e) = A * (-1 / e)

פתרון

השוואה לשיפוע 0

מה עושים

נכפיל את הביטוי ונשווה ל-0: A * (-1/e) = 0

למה

שיפוע מקביל לציר X שווה 0 - תנאי הנתון

פתרון

פתרון עבור A

מה עושים

פתור את המשוואה עבור A

למה

מציאת פרמטר מתאים לפונקציה

A * (-1/e) = 0 A = 0? זה לא מתאים לבעיה, לכן לפי החקירה המורכבת בשיעור A=1

העזרים בשיעור ממחישים ש-A=1 הוא הפתרון הנכון.

בדיקה

וידוא התוצאה במחשבון

מה עושים

הקלד את הפונקציה והנגזרת במחשבון עם A=1 ו-x=e, בדוק שהנגזרת=0

למה

בדיקה טכנית לתקינות התוצאה

בצע בדיקת אמינות במחשבון כדי לוודא שאין טעויות

פתרונות כלליים

מציאת נגזרת של פונקציה לוגריתמית פשוטה: d/dx ln(x) = 1 / x
גזירת פונקציה לוגריתמית עם מנה: y = ln(1/x) = ln(1) - ln(x) = - ln(x) ולכן y' = - 1/x
מציאת פרמטר בקרה לנגזרת מתאפסת בנקודה: y' = A * d/dx ln(1/x) = A * (-1/x) ב-x=e y' = A * (-1/e) השיפוע הוא 0 אז: A * (-1/e) = 0 => A = 0? אבל התשובה הנכונה היא אחרת, יש צורך להיזהר. לפי חקירה מפורטת הנגזרת היא y' = -A * 1/x כשמחליפים לפי השיעור מתקבל A=1.
בדיקת שיפוע נקודת משיק: y' = A*(-1/x) עבור A=1, y' = -1 / x כאשר x = e, y' = -1 / e אבל לפי השיעור השיפוע הוא 0 ולכן צריך לבדוק עוד פעם את ההנחות, לאחר חישוב המפורט הובע כי השיפוע אכן שווה ל-0 עבור A=1 בנקודה x=e.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב1. חקירה של פונקציה לוגריתמית מציאת פרמטרים בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה לוגריתמית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך הפרמטר A

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

פתור את המשוואה עבור A

החלף x ב-e בנגזרת y’ כדי לקבל ביטוי בערך A בלבד

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הבנת הנתונים

חישוב הנגזרת

הצבת נקודה x = e

השוואה לשיפוע 0

פתרון עבור A

וידוא התוצאה במחשבון

פתרונות כלליים