בשיעור זה לומדים כיצד לבצע חקירה לוגריתמית של פונקציה הכוללת נגזרות, מציאת נקודות קיצון, והצבת ערכים נכונים של פרמטרים באמצעות שיטות אלגבריות ועיוניות.
להבין את משמעות נקודת קיצון לפונקציה לוגריתמית
לחשב נגזרת של פונקציה הכוללת לוגריתם טבעי
לפתור משוואות בנוסח לוגריתמי ולמצוא פרמטרים בעזרת הצבה וניסוח משוואות
לבצע בדיקות וולידציה על הפתרון על מנת לוודא תקינות
להשתמש במחשבון לביצוע חקירה לוגריתמית
הגדרת נקודת הקיצון והמשמעות שלה: הסבר על תפקיד נקודת הקיצון, כיצד ניתן לגזור את הפונקציה ולמצוא את נקודת האפס של הנגזרת.
פתרון לאיתור הפרמטר a: ביצוע חישוב אלגברי למציאת ערך הפרמטר a שתנאי נקודת הקיצון מתקיים.

תרגול קצר

מציאת פרמטר a בפונקציה לוגריתמית

רמת קושי: קל

ממתין

פונקציה נתונה F(x) = ln(x^2 - a) / (x^2 - a). נתון כי בנקודה x = √e + 4 יש נקודת קיצון. מצא את ערך הפרמטר a.

חקירה לוגריתמיתנגזרותנקודות קיצון

רמז: כתוב את נגזרת הפונקציה, הצב x = √e + 4 ושווה ל-0, פתר את המשוואה עבור a.

פתרון מלא

תשובה סופית: a = 4

מתחילים מכתיבת הנגזרת של הפונקציה תוך שימוש בכלל המנה ונגזרת הלוגריתם. מניחים נקודת קיצון על ידי שוויון הנגזרת לאפס, מציבים את הערך של x ואז פותרים עבור a. לאחר חישובים מתקבל a=4.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

המדריך למציאת פרמטר a לנקודת קיצון

חקירת פונקציה לוגריתמית במחשבון

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך הפרמטר a
נתון 1
נתון 1
f(x) = ln(x² - a) / (x² - a)
נתון 2
נתון 2
נקודת קיצון ב-x = √e + 4
רעיון
הרעיון המרכזי
נבצע נגזרת לפונקציה, נציב את ערך ה-x בנגזרת ונשווה ל-0, נפתור משוואה למציאת a.
נוסחה
מבודדים את a ומפשטים את המשוואה עד לקבלת ערך מספרי.
a = 4
משוואה
מציבים x = √e + 4 בנגזרת ומשווים ל-0.
מציבים x = √e + 4 בנגזרת ומשווים ל-0.
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
מציבים את a שמצאנו חזרה בפונקציה ובנגזרת לוודא הגיון.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתוני השאלה

מה עושים

רושמים את הפונקציה ונקודת הקיצון הנתונה.

למה

כדי להבין מה נתון ומה מטרת החקירה.

הפונקציה נתונה במפורש, ונקודת הקיצון מסומנת בערך ספציפי של x.

בחירת שיטה

חישוב נגזרת הפונקציה

מה עושים

מחשבים את הנגזרת f'(x) לפי חוק המנה והנגזרת של ln.

למה

נקודת קיצון מתאפיינת בכך שהנגזרת שווה לאפס.

הנגזרת כוללת נגזרת של לוגריתם טבעי ופונקציה במכנה.

אם קשה, תפרקו את הנגזרת לחלקים.

בניית משוואה

הצבת נקודת הקיצון

מה עושים

מציבים x = √e + 4 בנגזרת ומשווים ל-0.

למה

כדי לקבל משוואה עם הפרמטר a בלבד.

מכסים את ערך x וכך מצמצמים את המשתנים.

השתמשו בערך המדויק של √e.

פתרון

פתרון המשוואה עבור a

מה עושים

מבודדים את a ומפשטים את המשוואה עד לקבלת ערך מספרי.

למה

כדי למצוא את ערך הפרמטר המבוקש.

עוברים בין ביטויים לוגריתמיים בצורה אלגברית עד לקבלת a=4.

נוסחה / הצבה

a = 4

זכרו ש-e בחזקת 1 שווה e.

בדיקה

בדיקת התוצאה

מה עושים

מציבים את a שמצאנו חזרה בפונקציה ובנגזרת לוודא הגיון.

למה

כדי לוודא שאין טעויות חישוביות.

בודקים האם הנגזרת שווה לאפס בנקודת x הנתונה.

אם לא שווה אפס, חוזרים על החישוב.

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

מסקנה: הפרמטר a שווה 4.

למה

זו התשובה לשאלת התרגיל.

מצאת את ערך a האפשרי לפונקציה עם נקודת הקיצון הנתונה.

פתרונות כלליים

מציאת פרמטר a בפונקציה לוגריתמית: מתחילים מכתיבת הנגזרת של הפונקציה תוך שימוש בכלל המנה ונגזרת הלוגריתם. מניחים נקודת קיצון על ידי שוויון הנגזרת לאפס, מציבים את הערך של x ואז פותרים עבור a. לאחר חישובים מתקבל a=4.

הפריט הקודם הפריט הבא

א1. חקירה של פונקציה לוגריתמית מציאת פרמטרים בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה לוגריתמית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך הפרמטר a

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

מבודדים את a ומפשטים את המשוואה עד לקבלת ערך מספרי.

מציבים x = √e + 4 בנגזרת ומשווים ל-0.

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתוני השאלה

חישוב נגזרת הפונקציה

הצבת נקודת הקיצון

פתרון המשוואה עבור a

בדיקת התוצאה

תוצאה סופית

פתרונות כלליים