השיעור עוסק בחקירת פונקציה לוגריתמית דרך חישוב נגזרות, בדיקת סימני הנגזרות ונקודות הקיצון של הפונקציה באמצעות מחשבון.
להבין כיצד למצוא נגזרת של פונקציה לוגריתמית
לחשב ערכי נגזרות בנקודות מסוימות
לזהות נקודות קיצון על פי סימני נגזרת שנייה
להשתמש במחשבון ככלי עזר לבקרה וחקירה של פונקציה
כתיבת פונקציות ונגזרותיהן: נלמד כיצד להגדיר פונקציות f ו-g ואת הנגזרות f' ו-g', ונבצע חישובים של ערכי הנגזרת בנקודות שונות.
בדיקת נקודות קיצון: מנתחים את סימני הנגזרת ומזהים את נקודות המקסימום והמינימום על הפונקציה.

תרגול קצר

מציאת נגזרת של פונקציה לוגריתמית

רמת קושי: קל

ממתין

לחשב את נגזרת הפונקציה f(x) = ln(x) ולהעריך אותה ב-x=2

נגזרתלוגריתםפונקציה

רמז: הנגזרת של ln(x) שווה ל-1/x

פתרון מלא

תשובה סופית: 0.5

f'(x) = 1/x לכן f'(2) = 1/2 = 0.5

מציאת נקודות קיצון בפונקציה לוגריתמית

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה פונקציה f(x) = x ln(x). מצא את נקודות הקיצון שלה בטווח x>0

נקודות קיצוןנגזרתלוגריתם

רמז: חשב נגזרת ראשונה, פתר משוואה f'(x)=0, בדוק סימנים

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 1/e ≈ 0.368 - נקודת מינימום

f'(x) = ln(x) + 1. אפס את הנגזרת: ln(x) + 1 = 0 => ln(x) = -1 => x = e^-1. בודקים סימנים מסביב לנקודה x = e^-1 למציאת מינימום או מקסימום.

חקירת פונקציה לוגריתמית עם נגזרת שנייה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חקור את הפונקציה f(x) = x ln(x) על ידי חישוב נגזרת שנייה וזיהוי נקודות פיתול

נגזרת שנייהנקודות פיתולחקירה

רמז: חשב נגזרת ראשונה, נגזרת שנייה, פתר משוואה f''(x) = 0

פתרון מלא

תשובה סופית: אין נקודות פיתול בתחום x>0

f'(x) = ln(x) + 1; f''(x) = 1/x. הפונקציה f''(x) = 0 מתרחשת ב-x אינסוף. אין נקודת פיתול בתחום x>0.

מציאת נקודות קיצון של פונקציה לוגריתמית

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה f(x)=ln(x^2 -4). מצא את נקודות הקיצון בגרף הפונקציה בתחום x>2.

לוגריתםנגזרתבטווח מוגדר

רמז: חשב את הנגזרת, פתר שוויון נגזרת לאפס בתחום הנתון, בדוק סימנים

פתרון מלא

תשובה סופית: אין נקודות קיצון בתחום x>2

f'(x) = (2x)/(x^2 -4). אפס את הנגזרת: 2x=0 => x=0 (לא בטווח x>2). לכן אין נקודות קיצון בתחום x>2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירה של פונקציה לוגריתמית ומציאת נקודות קיצון

שלבי פתרון תרגיל בסיסי בפרק חקירה לוגריתמית

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך הנגזרת בנקודה x=2 / איור התנהגות הפונקציה בסביבת הנקודה
נתון 1
נתון 1
פונקציה f(x) = ln(x)
נתון 2
נתון 2
נקודת הערכה x=2
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את נגזרת הפונקציה ונבדוק את ערכה באותה נקודה.
נוסחה
כותבים את הנוסחה f'(x) = 1/x
f'(x) = 1/xf'(x) = (1)/(x)
משוואה
מכניסים x=2 לנוסחה ומחשבים
מכניסים x=2 לנוסחה ומחשבים
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
השיפוע בנקודה הוא 0.5, הפונקציה עולה באזור זה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

כתיבת הפונקציה והנקודה

מה עושים

רושמים את הפונקציה f(x) והנקודה x=2

למה

חשוב להבין מה נתון לפני תחילת החישוב

f(x) = ln(x), x=2

בחירת שיטה

הגדרת הנגזרת

מה עושים

קובעים כי נגזרת ln(x) היא 1/x

למה

נגזרת זו מאפשרת לחשב שיפוע בנקודה

בניית משוואה

ניסוח הנגזרת

מה עושים

כותבים את הנוסחה f'(x) = 1/x

למה

על בסיס הנוסחה נחשב ערך ספציפי

f'(x) = 1/x

נוסחה / הצבה

f'(x) = 1/xf'(x) = (1)/(x)

פתרון

חישוב הערך בנקודה

מה עושים

מכניסים x=2 לנוסחה ומחשבים

למה

כן נוכל לדעת את השיפוע בנקודה זו

f'(2) = 1/2 = 0.5

להיזהר בכתיבה ובחישוב השבר

תשובה

תוצאה וסיכום

מה עושים

השיפוע בנקודה הוא 0.5, הפונקציה עולה באזור זה

למה

ערך נגזרת חיובי מציין עלייה של הפונקציה

פתרונות כלליים

מציאת נגזרת של פונקציה לוגריתמית: f'(x) = 1/x לכן f'(2) = 1/2 = 0.5
מציאת נקודות קיצון בפונקציה לוגריתמית: f'(x) = ln(x) + 1. אפס את הנגזרת: ln(x) + 1 = 0 => ln(x) = -1 => x = e^-1. בודקים סימנים מסביב לנקודה x = e^-1 למציאת מינימום או מקסימום.
חקירת פונקציה לוגריתמית עם נגזרת שנייה: f'(x) = ln(x) + 1; f''(x) = 1/x. הפונקציה f''(x) = 0 מתרחשת ב-x אינסוף. אין נקודת פיתול בתחום x>0.
מציאת נקודות קיצון של פונקציה לוגריתמית: f'(x) = (2x)/(x^2 -4). אפס את הנגזרת: 2x=0 => x=0 (לא בטווח x>2). לכן אין נקודות קיצון בתחום x>2.

הפריט הקודם הפריט הבא

א3. חקירה של פונקציה לוגריתמית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה לוגריתמית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך הנגזרת בנקודה x=2 / איור התנהגות הפונקציה בסביבת הנקודה

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

כותבים את הנוסחה f'(x) = 1/x

מכניסים x=2 לנוסחה ומחשבים

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

כתיבת הפונקציה והנקודה

הגדרת הנגזרת

ניסוח הנגזרת

חישוב הערך בנקודה

תוצאה וסיכום

פתרונות כלליים