במסגרת חקירה לוגריתמית, לומדים לזהות ולהסביר סעיפים מיוחדים המתמקדים בחדות, נימוק והבנה ולא בחישובים. דוגמה למקרה היא מציאת ערכי פרמטר המובילים לכך שמשוואה לא תחזיק פתרון, תוך הבנה שהמשוואה מייצגת חיתוך בין פונקציות והשוואתן באמצעות פרמטר.
להבין ולהסביר מקרים בהם פונקציה לוגריתמית לא נחתכת עם קו ישר
לנתח משוואה עם פרמטר ולזהות מתי אין פתרון
להבחין בין סעיפים של חישוב וסעיפים של חשיבה בחקירה פונקציונלית
להשתמש בניתוח גרפים ובנקודות קיצון לנימוק
לפתח חשיבה לוגית וחדות בעבודה עם פונקציות ופרמטרים
הבדל בין סעיפי חישוב לסעיפי חשיבה: מסבירים שסעיפים מיוחדים בחקירת פונקציות הם סעיפי חשיבה וחדות, שלא מצריכים חישובים ארוכים אלא נימוקים והבנה מתמטית ברמה אינטואיטיבית.
דוגמה: מציאת ערכי פרמטר ללא פתרון למשוואה: מתבוננים במשוואה f(x)=m (כאשר m הוא פרמטר וקו ישר אופקי), ומזהים מתי היא לא מתקיימת על ידי בדיקת חיתוכי הפונקציות וערכי y המתאימים.

תרגול קצר

מציאת ערכי m ללא פתרון במשוואה f(x)=m

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציה רציפה f ופרמטר m. מצא את ערכי m כך שאין פתרון למשוואה f(x)=m והסבר מדוע.

פונקציהחקירהפרמטריםחדותפונקציה לוגריתמית

רמז: חשוב להבין ש-f(x)=m היא חיתוך בין גרף הפונקציה לקו אופקי y=m. מתי אין חיתוך?

פתרון מלא

תשובה סופית: ערכי m בין y הנקודות הקיצוניות של f אינם מאפשרים פתרון למשוואה f(x)=m.

יש לבחון את ערכי y של נקודות הקיצון של הפונקציה, ולהצביע שהערכים שמופיעים בין נקודות הקיצון הם אלו שגורמים לכך שהקו y=m עובר בין הקיצוניות ואין חיתוך, כלומר אין פתרון. יש להראות כי ערכי m מחוץ לתחום זה כן מאפשרים פתרון.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

איך למצוא ערכי פרמטר ללא פתרון במשוואה

ניתוח משוואה עם פרמטר על פי גרף פונקציה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערכי m הגורמים לכך שמשוואה אין פתרון
נתון 1
פונקציה רציפה f(x)
נתון 2
פרמטר ממשי m
נתון 3
נתון 3
המשוואה f(x)=m
רעיון
הרעיון המרכזי
לבחון את מיקום קו ישר y=m ביחס לגרף הפונקציה f(x) ולזהות מתי אין חיתוך ביניהם.
נוסחה
לכתוב שמחפשים פתרונות לחיתוך בין f(x) לבין m.
f(x) = mf(x)=m
משוואה
שני פונקציות עיקריות: f(x) ו-y=m.
שני פונקציות עיקריות: f(x) ו-y=m.
פישוט
למצוא את ערכי y בנקודות הקיצון ולהשוות ל-m.
למצוא את ערכי y בנקודות הקיצון ולהשוות ל-m.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

משוואה ופרמטר

מה עושים

שני פונקציות עיקריות: f(x) ו-y=m.

למה

הפרמטר m מייצג קו ישר אופקי.

המשוואה שקולה לחיתוך בין גרף הפונקציה ל-y=m.

זכור שכל ערך m מייצג קו ישר שונה.

בחירת שיטה

השוואת גרפים

מה עושים

לזהות את נקודות הקיצון של f(x) ולהשוות לערך m.

למה

נקודות קיצון מראות את ערכי y המקסימליים והמינימליים של הפונקציה.

אם הקו y=m נמצא בין נקודות הקיצון, אין חיתוך.

נקודות הקיצון הן מידע קריטי לניתוח.

בניית משוואה

המשוואה f(x)=m

מה עושים

לכתוב שמחפשים פתרונות לחיתוך בין f(x) לבין m.

למה

המשוואה מייצגת נקודות חיתוך בין שני גרפים.

מתמקדים בערכי m כך שלא תחול חיתוך.

נוסחה / הצבה

f(x) = mf(x)=m

המשוואה מרכזית בבעיה.

פתרון

השוואת ערכי m לנקודות הקיצון

מה עושים

למצוא את ערכי y בנקודות הקיצון ולהשוות ל-m.

למה

מוכיח שהקו y=m עובר במקום שאין חיתוך.

ערכי m בין ערכי הקיצון מונעים פתרון למשוואה.

השוואת ערכים - הכלי הבסיסי.

תשובה

מסקנה לגבי ערכי m

מה עושים

לסכם כי ערכי m בין נקודות הקיצון אינם מייצרים פתרון למשוואה.

למה

כי הקו y=m מחוץ לטווח הפונקציה ונמנע חיתוך.

ערכי m מחוץ לטווח מאפשרים פתרון.

מדובר בחדות וחשיבה, לא בחישוב.

פתרונות כלליים

מציאת ערכי m ללא פתרון במשוואה f(x)=m: יש לבחון את ערכי y של נקודות הקיצון של הפונקציה, ולהצביע שהערכים שמופיעים בין נקודות הקיצון הם אלו שגורמים לכך שהקו y=m עובר בין הקיצוניות ואין חיתוך, כלומר אין פתרון. יש להראות כי ערכי m מחוץ לתחום זה כן מאפשרים פתרון.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב4. חקירה של פונקציה לוגריתמית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

ניווט לפי נושאים

חקירה לוגריתמית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערכי m הגורמים לכך שמשוואה אין פתרון

פונקציה רציפה f(x)

פרמטר ממשי m

נתון 3

הרעיון המרכזי

לכתוב שמחפשים פתרונות לחיתוך בין f(x) לבין m.

שני פונקציות עיקריות: f(x) ו-y=m.

למצוא את ערכי y בנקודות הקיצון ולהשוות ל-m.

פתרון מפורט

משוואה ופרמטר

השוואת גרפים

המשוואה f(x)=m

השוואת ערכי m לנקודות הקיצון

מסקנה לגבי ערכי m

פתרונות כלליים