הסבר ופתרון תרגיל טריגונומטרי במשולש עם פרמטרים, תוך שימוש במשפטים ובנוסחאות טריגונומטריות להביע שטחים וגודל קטעים במשולש.
להבין שימוש במשפטי שוויון במשולשים
לבטא קטעים במשולש באמצעות פרמטרים וזוויות
לגזור את השטח במשולש גדול תוך פירוקו למשולשים קטנים
לעבוד עם נוסחאות טריגונומטריות – סינוס, קוסינוס
לפתור בעיות טריגונומטריות עם פרמטרים ולהבין התוצאה מהן
המשולש והפרמטרים: הכרת הזוויות והקטעים השונים במשולש שניתנו, וקדימה לפירוק למשולשים קטנים.
בעבודה עם המשולש הגדול והקטנים: פירוק השטח של המשולש הגדול על ידי המשולשים הקטנים ושימוש בנוסחאות טריגונומטריות להבעת אורך קטעים.
פתרון מפלצות הטריגונומטריה: יצירת 'מפלצות טריגונומטריות' כחלק מהפתרון, הכפלת ביטויים וקלות העבודה עמן, תוך שמירת זהירות בחישובים.

תרגול קצר

חישוב BD ו-DE במשולש עם פרמטרים

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש נתון כי AE=AC ו-BD=A, הבעת את BD ו-DE בעזרת הפרמטר A והזווית α.

טריגונומטריהפרמטריםמשולש

רמז: השתמשו במשפטי סינוס וקוסינוס כדי למצוא את הקשרים בין הקטעים.

פתרון מלא

תשובה סופית: BD = 2A*sin α*cos α, DE = A*(1 - 2*cos² α)

בשימוש בנוסחות, BD = 2A*sin α*cos α, DE = A*(1 - 2*cos² α).

חישוב שטח המשולש הכולל באמצעות BD ו-DE

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את השטח הכולל של המשולש הגדול באמצעות קטעי BD ו-DE שחושבו קודם.

שטחיםטריגונומטריהחשבון

רמז: שטח משולש שווה חצי מכפולת הבסיס בגובה. השתמש בנוסחה חצי * BD * DE.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח = A² sin α cos α (1 - 2 cos² α)

שטח = 0.5 * BD * DE = 0.5 * (2A sin α cos α) * (A (1 - 2 cos² α)) = A² sin α cos α (1 - 2 cos² α).

הוכחת שוויוניות בין צורות טריגונומטריות שונות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הראה ששתי דרכים שונות של ביטוי השטח המשולש מחזירות ערך שווה עבור ערכים מסוימים של A ו-α.

הוכחהטריגונומטריהחשיבה מתמטית

רמז: בחר ערכי A ו-α, חשב כל ביטוי בנפרד והשווה התוצאות.

פתרון מלא

תשובה סופית: שוויון ביטויים עבור כל ערכים תואמים

בחר לדוגמה A=1, α=45 מעלות, חשב את הביטויים, ראו ששווים.

פתרון בעיית שטח במשולש עם פרמטרים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון משולש בו AE=AC, BD=A. הבע את שטח המשולש באמצעות A והזווית α בעזרת טריגונומטריה.

בגרותטריגונומטריהשטחים

רמז: כתבו ביטויים ל-BD ול-DE בעזרת משפטים וחשב את השטח בסכום שטחי המשולשים הקטנים.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח = A² sin α cos α (1 - 2 cos² α)

BD = 2A*sin α*cos α DE = A*(1 - 2*cos² α) שטח = חצי * BD * DE = A² sin α cos α (1 - 2 cos² α).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל טריגונומטרי עם פרמטרים

פירוק משולש לקטעים וביטוי שטח בפרמטרים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שטח המשולש הכולל באמצעות A והזווית α
נתון 1
נתון 1
AE = AC
נתון 2
נתון 2
BD = A
רעיון
הרעיון המרכזי
לפרק את המשולש למשולשים קטנים, לחשב קטעים BD ו-DE באמצעות טריגונומטריה, ולהשתמש בנוסחה לחישוב
נוסחה
נחשב את אורך DE באמצעות הפרמטרים.
DE = A * (1 - 2*cos² α)
משוואה
נחשב את שטח המשולש בעזרת חצי כפל בסיס בגובה.
נחשב את שטח המשולש בעזרת חצי כפל בסיס בגובה.
שטח = 0.5 * BD * DE
פישוט
הכנסת הביטויים של BD ו-DE וניסוח נוסחה לגמרי בפרמטרים.
הכנסת הביטויים של BD ו-DE וניסוח נוסחה לגמרי בפרמטרים.
שטח = A² * sin α * cos α * (1 - 2*cos² α)
תוצאה
מסיימים בתשובה
נזהה את הקטעים שהוגדרו ונזכור את הפרמטרים.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הכרת נתוני המשולש

מה עושים

נזהה את הקטעים שהוגדרו ונזכור את הפרמטרים.

למה

לדעת מהם Kוהנתונים הבסיסיים לפתרון.

AE שווה ל-AC ו-BD שווה ל-A.

בחירת שיטה

הבעת קטע BD

מה עושים

נחשב את אורך BD בעזרת נוסחאות סינוס וקוסינוס.

למה

כדי לבטא אותו בפרמטרים A והזווית α.

מהמשולש, BD = 2A * sin α * cos α.

נוסחה / הצבה

BD = 2A * sin α * cos α

נשתמש בנוסחה מחיבור המשולשים הקטנים.

בחירת שיטה

הבעת קטע DE

מה עושים

נחשב את אורך DE באמצעות הפרמטרים.

למה

לקבלת כל האורך הדרוש לחישוב השטח.

DE = A * (1 - 2*cos² α).

נוסחה / הצבה

DE = A * (1 - 2*cos² α)

נמצא את ההפרש בין הצלע הגדולה לקטעים הפנימיים.

בניית משוואה

חישוב שטח המשולש

מה עושים

נחשב את שטח המשולש בעזרת חצי כפל בסיס בגובה.

למה

כדי לקבל את שטח המרובע המבוקש.

שטח = חצי * BD * DE.

נוסחה / הצבה

שטח = 0.5 * BD * DE

מועדף לכפול פי חצי במקום לחלק ב-2.

פתרון

פישוט הביטוי

מה עושים

הכנסת הביטויים של BD ו-DE וניסוח נוסחה לגמרי בפרמטרים.

למה

כדי לקבל נוסחה פשוטה וברורה לשטח המשולש.

שטח = A² * sin α * cos α * (1 - 2*cos² α).

נוסחה / הצבה

שטח = A² * sin α * cos α * (1 - 2*cos² α)

בדקו עם ערכים מספריים לצורך אימות.

פתרונות כלליים

חישוב BD ו-DE במשולש עם פרמטרים: בשימוש בנוסחות, BD = 2A*sin α*cos α, DE = A*(1 - 2*cos² α).
חישוב שטח המשולש הכולל באמצעות BD ו-DE: שטח = 0.5 * BD * DE = 0.5 * (2A sin α cos α) * (A (1 - 2 cos² α)) = A² sin α cos α (1 - 2 cos² α).
הוכחת שוויוניות בין צורות טריגונומטריות שונות: בחר לדוגמה A=1, α=45 מעלות, חשב את הביטויים, ראו ששווים.
פתרון בעיית שטח במשולש עם פרמטרים: BD = 2A*sin α*cos α DE = A*(1 - 2*cos² α) שטח = חצי * BD * DE = A² sin α cos α (1 - 2 cos² α).

הפריט הקודם הפריט הבא

א7. פתרון תרגיל עם פרמטרים בטריגו במישור

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא שטח המשולש הכולל באמצעות A והזווית α

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נחשב את אורך DE באמצעות הפרמטרים.

נחשב את שטח המשולש בעזרת חצי כפל בסיס בגובה.

הכנסת הביטויים של BD ו-DE וניסוח נוסחה לגמרי בפרמטרים.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הכרת נתוני המשולש

הבעת קטע BD

הבעת קטע DE

חישוב שטח המשולש

פישוט הביטוי

פתרונות כלליים