שיעור זה מתמקד בשימוש במשפט הסינוסים והשלמת זוויות במשולש משוקעי זוויות, תוך הבנת הקשרים בין זוויות לצלעות ויישום הנוסחאות לפתרון בעיות בחישוב צלעות במשולש.
לזהות משולשים משוקעי זוויות ולהבין השלמת זוויות במשולש
להפעיל את משפט הסינוסים במשולשים ולנסח משוואות מתאימות
להבין ולעבוד עם זוויות היקפיות וקשתות במעגלים
לכתוב ולהשתמש בנוסחאות טריגונומטריות לפישוט ביטויים
ליישם את הידע לחישוב צלעות במשולש נתון
משולש משוקעי זוויות והשלמת זוויות: הסבר על משולש בו חלק מהזוויות ידועות ונדרש להשלים את הזוויות החסרות, תוך שימוש בחוקי משלימות של זוויות במשולש ובהיקף המעגל.
שימוש במשפט הסינוסים להנעת צלעות: יישום משפט הסינוסים על משולשים בתוך המעגל, תוך שימוש ברדיוס המעגל (r) ונתוני זוויות להשגת ביטויים לצלעות המבוקשות.

תרגול קצר

חישוב אורך AD במשולש משוקעי זוויות

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש משוקעי זוויות ABC עם זוויות α ו-β, ורדיוס המעגל החסום r. מצא את אורך הצלע AD באמצעות משפט הסינוסים, כאשר α ו-β נתונים.

משפט הסינוסיםמשולש משוקעי זוויותטריגונומטריהחישוב צלעות

רמז: הבא את משפט הסינוסים לפעולה על משולש ACD ושימוש בזהויות סינוס של זוויות משלימות.

פתרון מלא

תשובה סופית: AD = (2r × sin² α) / sin(α - β)

על פי משפט הסינוסים במשולש ACD, AD חלקי סינוס הזווית מולו שווה ל-2r. לכן AD = 2r * (sin α * sin α) / sin(α - β) תלוי בהחלפת סינוס 180 מינוס α בסינוס α ויישום נוסחת הפרש הסינוסים לפישוט.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב אורך AD במשולש משוקעי זוויות

שימוש במשפט הסינוסים ונוסחאות טריגונומטריות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אורך הצלע AD
נתון 1
זוויות α ו-β במשולש
נתון 2
רדיוס המעגל החסום r
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש במשפט הסינוסים במשולש ACD תוך השלמת זוויות וכתיבת הביטויים בצורה טריגונומטרית פשוטה.
נוסחה
השתמש במשפט הסינוסים במשולש ACD לכתיבת משוואה לצלע AD.
AD / sin(α - β) = 2r(AD)/(( - )) = 2r
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
החלף סינוס 180 מינוס α בסינוס α והשתמש בנוסחת הפרש הסינוסים לפישוט.
החלף סינוס 180 מינוס α בסינוס α והשתמש בנוסחת הפרש הסינוסים לפישוט.
sin(180 - α) = sin αsin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
תוצאה
מסיימים בתשובה
השווה והשלים את הביטוי הסופי של AD בפונקציה של r, α ו-β.
AD = (2r * sin^2 α) / sin(α - β)AD = (2r × sin² α) / sin(α - β)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונים וניתוח זוויות

מה עושים

סמן והגדר את הזוויות α ו-β ואת רדיוס המעגל r במשולש.

למה

הגדרת נתונים ברורה היא בסיס לפתרון.

המשולש משוקעי זוויות נתון עם α, β ו-r. יש להכיר את קשרי הזוויות והקשת במעגל.

בחירת שיטה

השלמת זוויות במשולש

מה עושים

חשב את הזוויות החסרות באמצעות חוק סכום הזוויות במשולש ושל ההיקף במעגל.

למה

כל הזוויות צריכות להיסמך לקבלת ביטויים מדויקים.

השלמת כל הזוויות הידועות למשולש ABC ו-ACD כדי להגדיר יחס נכון בצלעות.

בניית משוואה

יישום משפט הסינוסים

מה עושים

השתמש במשפט הסינוסים במשולש ACD לכתיבת משוואה לצלע AD.

למה

קשר בין צלעות לזוויות חיוני לפתרון.

נוסחאות שקושרות בין AD, זוויות α, β ורדיוס r דרך משפט הסינוסים.

נוסחה / הצבה

AD / sin(α - β) = 2r(AD)/(( - )) = 2r

משפט הסינוסים במעגל מוגדר עם רדיוס 2r.

פתרון

פישוט משתמש בנוסחאות טריגונומטריות

מה עושים

החלף סינוס 180 מינוס α בסינוס α והשתמש בנוסחת הפרש הסינוסים לפישוט.

למה

כדי לקבל ביטוי מקוצר ונקי ללא זוויות משלימות.

סינוס 180 מינוס α = סינוס α ונוסחת הפרש הסינוסים מסייעות בפישוט הביטוי לחלוקה ברורה.

נוסחה / הצבה

sin(180 - α) = sin αsin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β(180^ - ) =( - ) = -

שימוש זהירות בפישוט ימנע איבוד נקודות.

תשובה

חישוב התוצאה הסופית

מה עושים

השווה והשלים את הביטוי הסופי של AD בפונקציה של r, α ו-β.

למה

קבלת התוצאה הרצויה בצורה נכונה ומסודרת.

התוצאה הסופית ל-AD היא 2r כפול ריבוע סינוס α חלקי סינוס (α - β).

נוסחה / הצבה

AD = (2r * sin^2 α) / sin(α - β)AD = (2r × sin² α) / sin(α - β)AD = (2r ^2 )/(( - ))

פתרונות כלליים

חישוב אורך AD במשולש משוקעי זוויות: על פי משפט הסינוסים במשולש ACD, AD חלקי סינוס הזווית מולו שווה ל-2r. לכן AD = 2r * (sin α * sin α) / sin(α - β) תלוי בהחלפת סינוס 180 מינוס α בסינוס α ויישום נוסחת הפרש הסינוסים לפישוט.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב2. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא אורך הצלע AD

זוויות α ו-β במשולש

רדיוס המעגל החסום r

הרעיון המרכזי

השתמש במשפט הסינוסים במשולש ACD לכתיבת משוואה לצלע AD.

נבנה משוואה

החלף סינוס 180 מינוס α בסינוס α והשתמש בנוסחת הפרש הסינוסים לפישוט.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתונים וניתוח זוויות

השלמת זוויות במשולש

יישום משפט הסינוסים

פישוט משתמש בנוסחאות טריגונומטריות

חישוב התוצאה הסופית

פתרונות כלליים