במהלך השיעור הוצגו המושגים היסודיים בטריגונומטריה של משולשים במישור, הן משולש ישר זווית והן משולש כללי. הוסברו פונקציות הטריגונומטריה של סינוס, קוסינוס וטנגנס, כיצד להשתמש במשפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים למציאת צלעות וזוויות במשולשים כלליים, כולל דגש על תמרונים אלגבריים ושימוש במחשבון.
להבין ולהכיר את פונקציות הטריגונומטריה במשולש ישר זווית
ליישם את משפט הסינוסים למציאת צלעות וזוויות במשולש כללי
ליישם את משפט הקוסינוסים למציאת צלעות וזוויות במשולש כללי
להבדיל בין מצבים בהם מתאים להשתמש במשפט הסינוסים לבין משפט הקוסינוסים
לפענח נתונים ולייצג משוואות לבעיה נתונה בטריגונומטריה
להשתמש במחשבון מדעי לצורך חישוב ערכי טריגונומטריה ופענוח זוויות
הכרות עם פונקציות היסוד בטריגונומטריה: הוצגו פונקציות הסינוס, הקוסינוס והטנגנס במשולש ישר זווית כיחסים בין צלעות המשולש.
שימוש במשפט הסינוסים במשולש כללי: הצגת משפט הסינוסים לשימוש במשולשים שאינם ישרי זווית למציאת צלעות וזוויות, התבססות על יחס צלע לזווית מנוגדת.
שימוש במשפט הקוסינוסים במשולש כללי: הסבר על המשפט המקשר בין צלע כלשהי למשולש לבין שתי הצלעות האחרות וזווית ביניהן. מאפשר פתרון משולשים לא ישרי זווית בהינתן נתונים ספציפיים.

תרגול קצר

מציאת יתר במשולש ישר זווית

רמת קושי: קל

ממתין

משולש ישר זווית שבו הזווית α היא 30 מעלות והניצב מול הוא 5 סנטימטר. מצא את אורך היתר.

טריגונומטריהמשולש ישר זוויתסינוסיתר

רמז: השתמש בהגדרת סינוס: סינוס α = ניצב מול חלקי היתר.

פתרון מלא

תשובה סופית: 10 ס"מ

סינוס 30° הוא 0.5. לפי ההגדרה, סינוס 30 = 5 / היתר. לכן היתר = 5 / 0.5 = 10 ס"מ.

חישוב צלע במשולש כללי עם שתי צלעות וזווית

רמת קושי: בינוני

ממתין

במשולש כללי נתונות צלעות a=5, b=8 וזווית γ=60°. מצא את אורך הצלע c בעזרת משפט הקוסינוסים.

טריגונומטריהמשולש כללימשפט קוסינוסיםצלע

רמז: השתמש בנוסחה: c² = a² + b² - 2ab * קוס γ.

פתרון מלא

תשובה סופית: 7

חשב: c² = 5² + 8² - 2*5*8*cos60° = 25 + 64 - 80*0.5 = 89 - 40 = 49. לכן c = שורש 49 = 7.

חישוב זווית במשולש כללי באמצעות משפט הקוסינוסים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

במשולש כללי צלעות a=5, b=7, c=8. מצא את הזווית α הנגדית לצלע a באמצעות משפט הקוסינוסים.

משפט קוסינוסיםזוויתמשולש כללי

רמז: השתמש בנוסחה: a² = b² + c² - 2bc * קוס α. צא לחישוב קוס α ואז הפוך באמצעות ארק קוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: 38.25 מעלות

5² = 7² + 8² - 2*7*8*cos α => 25 = 49 + 64 - 112*cos α => 25 = 113 -112*cos α => 112*cos α = 113 - 25 = 88 => cos α = 88/112 = 0.7857. α = ארק קוס(0.7857) ≈ 38.25 מעלות.

פתרון משולש כללי עם נתונים מעורבים

רמת קושי: בגרות

ממתין

במשולש כללי נתונות צלעות a=5, b=8, וזווית γ=60°. חשב את אורך הצלע c ואת הזווית α באמצעות משפט הקוסינוסים ומשפט הסינוסים.

טריגונומטריהמשפט הסינוסיםמשפט הקוסינוסיםמשולש כללי

רמז: ראשית חשב את c באמצעות משפט הקוסינוסים, אחר כך חשב את α באמצעות משפט הסינוסים.

פתרון מלא

תשובה סופית: c=7, α≈38.21°

1) חישוב c: c² = 5² + 8² - 2*5*8*cos60° = 25 + 64 - 80*0.5 = 89 - 40 = 49, c=7. 2) חישוב α: לפי משפט הסינוסים 5 / סינוס α = 7 / סינוס 60° => סינוס α = 5 * סינוס 60° /7 = 5 * 0.866 /7 = 0.618. α = ארק סינוס(0.618) ≈ 38.21 מעלות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב צלע במשולש כללי עם משפט הקוסינוסים

פתרון צלע c במשולש עם שתי צלעות וזווית כלואה ביניהן

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אורך הצלע c
נתון 1
נתון 1
a = 5
נתון 2
נתון 2
b = 8
נתון 3
נתון 3
γ = 60°
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש במשפט הקוסינוסים כדי לחשב את אורך הצלע c בהתבסס על הצלעות והזווית הנתונות.
נוסחה
הכנס את הערכים לנוסחה: c² = 5² + 8² - 2*5*8*cos60°.
c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 * 5 * 8 * cos 60°
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
רשום את הצלעות a, b והזווית γ עליהם מסתמך החישוב.
רשום את הצלעות a, b והזווית γ עליהם מסתמך החישוב.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונים ידועים

מה עושים

רשום את הצלעות a, b והזווית γ עליהם מסתמך החישוב.

למה

חשוב להבהיר מהם המידע הזמין לפתור את הבעיה.

a=5, b=8, γ=60° מעוגנים בנתונים.

בחירת שיטה

בחירת נוסחה מתאימה

מה עושים

בחר את משפט הקוסינוסים המתאים: c² = a² + b² - 2ab * קוס γ.

למה

משפט הקוסינוסים מתאים כשיש שתי צלעות וזווית כלואה ביניהן.

משפט הקוסינוסים מותאם לבעיה זו.

בניית משוואה

כתיבת הנוסחה

מה עושים

הכנס את הערכים לנוסחה: c² = 5² + 8² - 2*5*8*cos60°.

למה

החלפת ערכים מאפשרת העתקת הבעיה למספרים ברורים.

פורמלת משפט הקוסינוסים מספרית ספציפית.

נוסחה / הצבה

c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 * 5 * 8 * cos 60°

פתרון

חישוב צלע c

מה עושים

חשב c² = 25 + 64 - 80 * 0.5 = 89 - 40 = 49, קח שורש: c = 7.

למה

סיום חישוב מספרי נותן את אורך הצלע המבוקש.

פעולת חישוב ופישוט למענה מספרי.

זכור שסינוס וקוסינוס של זווית 60° הם ערכים ידועים.

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

אורך הצלע c הוא 7 ס"מ.

למה

המשמעות המעשית של החישוב היא מציאת אורך צד במשולש.

סיכום התוצאה המדויקת.

פתרונות כלליים

מציאת יתר במשולש ישר זווית: סינוס 30° הוא 0.5. לפי ההגדרה, סינוס 30 = 5 / היתר. לכן היתר = 5 / 0.5 = 10 ס"מ.
חישוב צלע במשולש כללי עם שתי צלעות וזווית: חשב: c² = 5² + 8² - 2*5*8*cos60° = 25 + 64 - 80*0.5 = 89 - 40 = 49. לכן c = שורש 49 = 7.
חישוב זווית במשולש כללי באמצעות משפט הקוסינוסים: 5² = 7² + 8² - 2*7*8*cos α => 25 = 49 + 64 - 112*cos α => 25 = 113 -112*cos α => 112*cos α = 113 - 25 = 88 => cos α = 88/112 = 0.7857. α = ארק קוס(0.7857) ≈ 38.25 מעלות.
פתרון משולש כללי עם נתונים מעורבים: 1) חישוב c: c² = 5² + 8² - 2*5*8*cos60° = 25 + 64 - 80*0.5 = 89 - 40 = 49, c=7. 2) חישוב α: לפי משפט הסינוסים 5 / סינוס α = 7 / סינוס 60° => סינוס α = 5 * סינוס 60° /7 = 5 * 0.866 /7 = 0.618. α = ארק סינוס(0.618) ≈ 38.21 מעלות.

הפריט הקודם הפריט הבא

א1. טריגונומטריה במישור משולש ישר זווית ומשולש כללי

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא אורך הצלע c

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

הכנס את הערכים לנוסחה: c² = 5² + 8² - 2*5*8*cos60°.

נבנה משוואה

רשום את הצלעות a, b והזווית γ עליהם מסתמך החישוב.

פתרון מפורט

נתונים ידועים

בחירת נוסחה מתאימה

כתיבת הנוסחה

חישוב צלע c

תוצאה סופית

פתרונות כלליים

הכנס את הערכים לנוסחה: c² = 5² + 8² - 258*cos60°.