במהלך השיעור נלמד כיצד לחקור פונקציות מנה, תוך התמקדות בסעיפים מיוחדים כגון מציאת אזוריה שבהם ישר אופקי חותך את הפונקציה, מרחק בין סימטות אנכיות, וכיצד שינוי בפונקציה משפיע על נקודות קיצון ואסימפטוטות. כמו כן, נבחן סקיצה כללית של גרף הנגזרת ונבין את משמעויות הסימנים של הנגזרת בחקירת פונקציה.
להבין מתי ישר אופקי חותך פונקצית מנה ומתי לא
למצוא את ערכי הפרמטרים בהם ישר אופקי אינו חותך את הפונקציה
לחפש ולחשב את המרחק בין סימטות אנכיות של פונקציה
להבין את השפעת הוספת קבוע לפונקציה ראשית על נקודות הקיצון והאסימפטוטות
ללמוד כיצד לשרטט סקיצה כללית של גרף הנגזרת ולהסביר אותה בשפת נגזרת
להבין את הקשר בין סימני הנגזרת לעלייה וירידה של הפונקציה
חתיכת סימטות ואופקיות בפונקציית מנה: מדוע ניתן לחתוך את הסימטות האופקיות מיליון פעמים, אך לא באינסוף, וכיצד מזהים אסימפטוטות אופקיות בפונקציות האלה.
זיהוי ערכי M הישר Y= M שאינו חותך פונקציה: למצוא עבור אילו ערכי M הישר Y= M אינו חותך את הפונקציה, תוך שימוש בנקודות קיצון וערכי Y שלהן.
מרחק בין ישרים שמונחים לציר X בנקודות קיצון: זיהוי נקודות הקיצון ואיתור קווי סימטוטה אנכיים, ומדידת המרחק ביניהם

תרגול קצר

מצא עבור אלו ערכי M הישר Y=M לא חותך את הפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקצית מנה F עם נקודות קיצון שערכי ה-Y שלהם הם 2.5 ו-4. מצא את תחום הערכים של M כך שהישר Y=M אינו יחתוך את גרף הפונקציה.

אקספוננציאליתפונקציה קטעיתסימטוטה אופקית

רמז: הישר צריך להיות בין ערכי ה-Y של נקודות הקיצון. בדוק איזה תחום באורך Y מתאים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2.5 < M < 4

הישר Y=M לא יחתוך את הפונקציה אם ערך M יהיה בין 2.5 ל-4, כלומר 2.5 < M < 4. זאת מכיוון שבין שתי נקודות הקיצון הפונקציה יוצרת גלים שאותם הישר יחתוך בהכרח מחוץ לתחום זה.

חשב את המרחק בין שני ישרים אנכיים

רמת קושי: בינוני

ממתין

נקודות קיצון של פונקציה ממוקמות על הישרים X=1 ו-X=4. מצא את המרחק בין שני הישרים.

מרחקישריםסימטוטה אנכית

רמז: המרחק בין שני ישרים אנכיים הוא ההפרש בערכי ה-X שלהם.

פתרון מלא

תשובה סופית: 3

המרחק בין X=1 ל-X=4 הוא 4 פחות 1, כלומר 3.

מציאת נקודות קיצון ואסימפטוטה אופקית בפונקציה חדשה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה פונקציה G(x)=F(x)+2, כאשר לנקודות הקיצון ב-F הערכים (1,4) ו(-4,2.5) והאסימפטוטה האופקית ב-F היא y=b. מצא את נקודות הקיצון והאסימפטוטה האופקית של G.

פונקציותאסימפטוטה אופקיתהזזה אנכית

רמז: הוספת 2 לכל ערכי F מזיזה את הגרף כלפי מעלה בשתי יחידות.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון: (1,6), (-4,4.5); אסימפטוטה אופקית: y = b + 2

נקודות הקיצון של G הן (1,6) ו(-4,4.5). האסימפטוטה האופקית של G מתקבלת מהזזה של b ב-2, כלומר y=b+2.

שרטוט סקיצה של גרף הנגזרת וניתוחו

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה פונקציית מנה וגרף הנגזרת שלה. הסבר מתי הנגזרת חיובית ומתי שלילית ומה משמעות הסימנים לעלייה וירידה של הפונקציה.

נגזרתשרטוטפונקציות

רמז: נגזרת חיובית פירושה שהפונקציה עולה, שלילית שהפונקציה יורדת, ונקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס הן נקודות קיצון אפשריות.

פתרון מלא

תשובה סופית: הנגזרת שלילית באזורים של ירידה, חיובית באזורים של עליה, ו-0 בנקודות קיצון.

הנגזרת שלילית בקטעים בהם הפונקציה יורדת, חיובית בקטעים בהם הפונקציה עולה. בנקודות בהן הנגזרת שווה לאפס נמצאות נקודות קיצון. יש לעקוב אחרי סימני הנגזרת ולשרטט בהתאם.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת תחום ערכי M לישר Y=M שאינו חותך פונקציה

ניתוח הישר המקביל לציר X בנקודות קיצון

8 תחנות4 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום הערכים של M כך שהישר Y=M לא יחתוך את פונקצית המנה
נתון 1
נקודות קיצון עם ערכי Y הם 2.5 ו-4
נתון 2
נתון 2
ישר אופקי Y=M עם ערך M המשתנה
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בערכי ה-Y של נקודות הקיצון כדי לקבוע מתי הישר Y=M נמצא בתחום בו אינו חותך את הפונקציה.
נוסחה
לנסח כי 2.5 < M < 4
2.5 < M < 4
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
תחום הערכים של M הוא בין 2.5 ל-4

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

זיהוי הערכים הנתונים

מה עושים

מקבלים את ערכי ה-Y של נקודות הקיצון: 2.5 ו-4

למה

הישר צריך להיות בין ערכי נקודות הקיצון כדי לא לחתוך את הפונקציה במקום אחר.

נתוני נקודות הקיצון משמשים לקביעת תחום ה-M

בחירת שיטה

הבנת תנאי האי חיתוך

מה עושים

לשים לב שהישר Y=M לא יחתוך אם נמצא בין הערכים 2.5 ל-4

למה

כיוון שהפונקציה מגיעה לערכי השיאים האלה, הישר בין אלו לא יצלח את הפונקציה.

הישר חייב להימצא בין ערכי ה-Y של הנקודות הקיצון

בניית משוואה

כתיבת אי שוויון לתחום M

מה עושים

לנסח כי 2.5 < M < 4

למה

זו שמציגה את התחום בו הישר Y=M לא יחתוך את הפונקציה

מייצגים במתמטיקה את התחום הרצוי של M

נוסחה / הצבה

2.5 < M < 4

שימו לב שזו אינה שוויון אלא אי שוויון תחומי

תשובה

סיכום התשובה

מה עושים

תחום הערכים של M הוא בין 2.5 ל-4

למה

הישר בנתון זה לא יחתוך את הפונקציה

התשובה הסופית היא תחום הערכים עבור M

פתרונות כלליים

מצא עבור אלו ערכי M הישר Y=M לא חותך את הפונקציה: הישר Y=M לא יחתוך את הפונקציה אם ערך M יהיה בין 2.5 ל-4, כלומר 2.5 < M < 4. זאת מכיוון שבין שתי נקודות הקיצון הפונקציה יוצרת גלים שאותם הישר יחתוך בהכרח מחוץ לתחום זה.
חשב את המרחק בין שני ישרים אנכיים: המרחק בין X=1 ל-X=4 הוא 4 פחות 1, כלומר 3.
מציאת נקודות קיצון ואסימפטוטה אופקית בפונקציה חדשה: נקודות הקיצון של G הן (1,6) ו(-4,4.5). האסימפטוטה האופקית של G מתקבלת מהזזה של b ב-2, כלומר y=b+2.
שרטוט סקיצה של גרף הנגזרת וניתוחו: הנגזרת שלילית בקטעים בהם הפונקציה יורדת, חיובית בקטעים בהם הפונקציה עולה. בנקודות בהן הנגזרת שווה לאפס נמצאות נקודות קיצון. יש לעקוב אחרי סימני הנגזרת ולשרטט בהתאם.

הפריט הקודם הפריט הבא

א3. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר

ניווט לפי נושאים

חקירה מלאה של פונקציה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום הערכים של M כך שהישר Y=M לא יחתוך את פונקצית המנה

נקודות קיצון עם ערכי Y הם 2.5 ו-4

נתון 2

הרעיון המרכזי

לנסח כי 2.5 < M < 4

נבנה משוואה

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

זיהוי הערכים הנתונים

הבנת תנאי האי חיתוך

כתיבת אי שוויון לתחום M

סיכום התשובה

פתרונות כלליים