וידאו · חקירה מלאה של פונקציה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ג1. חקירת פונקצית מנה מציאת פרמטרים
ג2. חקירת פונקצית מנה תחום הגדרה אסימפטוטות חיתוך עם הצירים
ג3. חקירת פונקצית מנה נקודות קיצון עליה וירידה
ג4. חקירת פונקצית מנה סעיפים מיוחדים חשוב ביותר
ד1. חקירת פונקצית מנה עם שורש
ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך
מציאת תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש במכנה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = 1 / שורש(x^2 - 1). הקבעו את תחום ההגדרה של הפונקציה.
רמז: זכור שתרגיל במכנה מחייב את הביטוי במכנה להיות שונה מאפס וששורש בתוך מכנה חייב להיות חיובי או אפס.
תשובה סופית: תחום ההגדרה: x < -1 או x > 1
תחום ההגדרה הוא x כך ש x^2 - 1 > 0, כלומר x < -1 או x > 1. בנוסף, שורש חייב להיות חיובי לא אפס, לכן תחום ההגדרה הוא (-∞, -1) ∪ (1, ∞).
חישוב גבולות פונקציה עם אסימפטוטות אנכיות
רמת קושי: בינוני
בהינתן הפונקציה f(x) = x^2 / שורש(x^2), חשב את הגבול של f(x) כאשר x שואף ל-0 מימין ומאפס משמאל.
רמז: חשב את ערך השורש שורש(x^2) שווה לערך מוחלט של x. בחן מתי יתכנו אסימפטוטות ומתי הפונקציה לא מוגדרת.
תשובה סופית: הגבול ל-0 מימין ומשמאל הוא 0
שורש(x^2) = |x|, לכן f(x) = x^2 / |x| = |x| כאשר x ≠ 0. כשה x שואף ל-0 מימין, |x| שואף ל-0; כשה x שואף ל-0 משמאל, גם |x| שואף ל-0. לכן הגבול משמאל ומימין הוא 0.
בדיקת חיתוך עם הצירים וניתוח נקודות קיצון
רמת קושי: מאתגר
נתונה הפונקציה f(x) = x^2 / שורש(x^2 - 1). בדקו האם יש חיתוך עם צירי x ו-y והעריכו את מספר נקודות הקיצון האפשריות.
רמז: לבדוק חיתוך עם ציר y על ידי הצבת x=0, ולבדוק חיתוך עם ציר x ע"י פתרון f(x)=0. העריך את נקודות הקיצון בהתבסס על הסימטריה ותחום ההגדרה.
תשובה סופית: אין חיתוך עם הצירים; יש צפי לשתי נקודות קיצון.
כיוון שתחום ההגדרה הוא x < -1 או x > 1, אין ערך x=0 בתחום ולכן אין חיתוך עם ציר y. חיתוך עם x מתקיים כאשר המונה שווה ל-0, כלומר x=0, שהיה לא בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך עם ציר x. לפי בדיקות גרף ותחום ההגדרה, מצופה שתי נקודות קיצון, אך יש לבדוק אותן על ידי נגזרת.
הדגמה לפונקציה f(x) = 1 / שורש(x^2 - 1)
פונקציה f מוגדרת כדלקמן: f(x) = 1 / שורש(x^2 - 1).תחום ההגדרה נקבע על ידי תנאי שקיומו מבטיח שהביטוי תחת השורש במכנה הוא חיובי ושונה מאפס.
(x-1)(x+1) > 0מציבים את הנתונים במשוואה.
לסכם את תחום ההגדרה כמשולב שתי קבוצות: (-∞, -1) ו-(1, ∞).
פונקציה נתונה f(x) = 1 / שורש(x^2 - 1).
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
פונקציה נתונה f(x) = 1 / שורש(x^2 - 1).
למה
צריך לבדוק תחום הגדרה שזו פונקציה עם שורש במכנה.
הפונקציה כוללת שורש במכנה, לכן יש להקפיד על תנאים מתאימים בשורש ובמכנה.
שימו לב ששורש במכנה מגביל את תחום ההגדרה.
בחירת שיטה
מה עושים
קובעים את התנאי שהביטוי תחת השורש חייב להיות גדול מאפס.
למה
שורש מוגדר רק עבור ערכים אי שליליים ובמכנה אסור אפס.
לכן יש לפתור את אי השוויון x^2 - 1 > 0.
נוסחה / הצבה
x^2 - 1 > 0אי שוויון ריבועי יש לפתור באמצעות שיטת סילו.
בניית משוואה
מה עושים
מפרקים לאיברים: (x-1)(x+1) > 0 ומחפשים מתי המכפלה חיובית.
למה
מכפלה של שני גורמים חיובית כאשר שניהם חיוביים או שניהם שליליים.
הפתרון הוא x < -1 או x > 1.
נוסחה / הצבה
(x-1)(x+1) > 0חשוב לזכור את סידור הסילו והפתרון המתאים.
פתרון
מה עושים
לסכם את תחום ההגדרה כמשולב שתי קבוצות: (-∞, -1) ו-(1, ∞).
למה
תחום ההגדרה הוא איחוד של שני תחומים בהם המנה מוגדרת.
הפונקציה מוגדרת רק כאשר הביטוי תחת השורש במכנה חיובי ושונה מאפס.
זכרו כי נקודות הגבול (-1 ו-1) לא כלולות.