וידאו · חקירה מלאה של פונקציה
ד2. חקירת פונקצית מנה עם שורש המשך
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה נלמד חקירה מלאה של פונקצית מנה המכילה שורש, הכוללת חישוב נגזרות, הפשטת הביטויים, פתרון משוואות ובחינת תחום ההגדרה ושפת הפונקציה.
- לחשב נגזרת של פונקצית מנה עם שורש במכנה
- ליישם את כלל המנה ונוסחאות הגזירה
- להפשט ביטויים אלגבריים המכילים שורשים
- לזהות נקודות קיצון ולהגדיר תחום הגדרה
- לנתח שפת הפונקציה והנגזרת שלה
- גזירת פונקצית מנה עם שורש: חישוב נגזרת של פונקציה שבה המכנה שורש, תוך שימוש בכלל המנה וחישוב נגזרות נוכחיות של הבנאים.
- הפשטת הביטויים: הפשטת הביטוי הנגזר על ידי כפל במכנה משותף, ופירוק גורמים משותפים לפישוט המשוואות.
- פתרון המשוואה למציאת נקודות קיצון: הצבת הנגזרת לאפס ופתרון המשוואה על ידי הוצאת גורם משותף וניצול הערכים הסימטריים של השורשים.
- חקר שפת הפונקציה והנגזרת: זיהוי תחום ההגדרה, סימטריות וציון מתי הפונקציה עולה ומתי יורדת על סמך סימני הנגזרת.
תרגול קצר
גזירת פונקצית מנה עם שורש פשוטה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = x^2 / √x. חשב את הנגזרת f'(x).
רמז: השתמש בכלל המנה ובנגזרת שורש x.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(x) = (2x√x - x^2/(2√x)) / x = ... (לאחר פישוט)
נסתכל על המונה: f = x^2, נגזרתה: f' = 2x. המכנה: g = √x, נגזרתו: g' = 1/(2√x). לפי כלל המנה: f' = (f' * g - f * g') / g^2 = (2x * √x - x^2 * (1/(2√x))) / (√x)^2. נחשב ונפשט: מכיוון ש(√x)^2 = x, הפשטה תתבצע בהתאם.
חישוב נקודות קיצון של פונקציה עם שורש
רמת קושי: בינוני
נתונה הפונקציה f(x) = x / √(x^2 - 1). נמצא את הנגזרת ונקודות הקיצון.
רמז: חשב נגזרת לפי כלל המנה, זהה נקודות בהן הנגזרת שווה לאפס, ופשט את התוצאה.
פתרון מלא
תשובה סופית: רגיש לפישור ולקביעת נקודות קיצון ספציפיות
הגדר f = x, g = √(x^2 - 1). נגזרות: f' = 1, g' = (1/2)(2x)/√(x^2 - 1) = x/√(x^2 - 1). לפי כלל המנה: f' = (f'*g - f*g') / g^2 = (1*√(x^2 - 1) - x*(x/√(x^2 - 1))) / (x^2 - 1). בעוד שנפשט ונציב f'(x) = 0 לבדיקת נקודות קיצון.
דרך הפתרון
חקירת פונקצית מנה עם שורש
פתרון נגזרת פונקצית מנה עם שורש במכנה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הנגזרת f'(x) / הבעה מפושטת של הנגזרת
- נתון 1
נתון 1
f(x) = x^2 / √x - רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב נגזרת לפי כלל המנה ונפשט באמצעות פעולות אלגבריות עם שורשים.
- נוסחה
חשב את הנגזרת לפי הנוסחה (f'*g - f*g') / g^2.
(2x * sqrt(x) - x^2 * (1/(2 * sqrt(x)))) / (sqrt(x))^2(f' * g - f * g') / g^2(f' * g - f * g')/(g^2) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
השתמש בעובדה ש-(√x)^2 = x כדי לפשט את המכנה.
השתמש בעובדה ש-(√x)^2 = x כדי לפשט את המכנה.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
חשב את ההפרש במונה וחלק ל-x במכנה לקבל את הנגזרת המפושטת.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- הפרדת פונקציה למונה ומכנה
- חישוב נגזרות f' ו-g' נכון
- זהירות: שכחה לצרף את המכנה בריבוע כשמחיל בכלל המנה
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת פונקציה
זיהוי נתונים
הגדרת פונקציה
מה עושים
הפרד את הפונקציה למונה ומכנה.
למה
לזהות f ו-g לצורך חישוב נגזרת המנה.
f = x^2, g = √x
2בחירת שיטה
חשב נגזרות של המונה והמכנה
בחירת שיטה
חשב נגזרות של המונה והמכנה
מה עושים
חשב את f' ו-g'.
למה
מהצורך לחלץ כל נגזרת בנפרד לפני השמתן בכלל המנה.
f' = נגזרת של x^2 = 2x; g' = נגזרת של √x = 1/(2√x)
3בניית משוואה
השתמש בכלל המנה
בניית משוואה
השתמש בכלל המנה
מה עושים
חשב את הנגזרת לפי הנוסחה (f'*g - f*g') / g^2.
למה
כדי להבין את הביטוי המדויק של הנגזרת במונחים של x.
f'(x) = (2x * √x - x^2 * 1/(2√x)) / (√x)^2
נוסחה / הצבה
(2x * sqrt(x) - x^2 * (1/(2 * sqrt(x)))) / (sqrt(x))^2(f' * g - f * g') / g^2(f' * g - f * g')/(g^2)זכור שכלל המנה שולט כיצד לגזור פונקצית מנה.
4פתרון
פשט את המכנה
פתרון
פשט את המכנה
מה עושים
השתמש בעובדה ש-(√x)^2 = x כדי לפשט את המכנה.
למה
להפוך את הביטוי קריא ופשוט יותר לפתרון.
(2x * √x - x^2 * 1/(2√x)) / x
5פתרון
פשט את המונה
פתרון
פשט את המונה
מה עושים
הכפל במשותף להסרת השורש במכפלה והפחתת חזקות.
למה
להפוך את המונה לביטוי אלגברי אחיד.
2x√x = 2x * x^(1/2) = 2x^(3/2);\nx^2 * (1/(2√x)) = x^2 / (2x^{1/2}) = x^{3/2} / 2
6פתרון
חשב את הביטוי הסופי
פתרון
חשב את הביטוי הסופי
מה עושים
חשב את ההפרש במונה וחלק ל-x במכנה לקבל את הנגזרת המפושטת.
למה
כדי לקבל את הביטוי הסופי של הנגזרת בפונקציה פשוטה יותר.
f'(x) = (2x^{3/2} - x^{3/2}/2) / x = (4x^{3/2}/2 - x^{3/2}/2) / x = (3x^{3/2}/2) / x = (3/2) x^{1/2}
השתמש בחוקי חזקות לפישוט.
פתרונות כלליים
- גזירת פונקצית מנה עם שורש פשוטה: נסתכל על המונה: f = x^2, נגזרתה: f' = 2x. המכנה: g = √x, נגזרתו: g' = 1/(2√x). לפי כלל המנה: f' = (f' * g - f * g') / g^2 = (2x * √x - x^2 * (1/(2√x))) / (√x)^2. נחשב ונפשט: מכיוון ש(√x)^2 = x, הפשטה תתבצע בהתאם.
- חישוב נקודות קיצון של פונקציה עם שורש: הגדר f = x, g = √(x^2 - 1). נגזרות: f' = 1, g' = (1/2)(2x)/√(x^2 - 1) = x/√(x^2 - 1). לפי כלל המנה: f' = (f'*g - f*g') / g^2 = (1*√(x^2 - 1) - x*(x/√(x^2 - 1))) / (x^2 - 1). בעוד שנפשט ונציב f'(x) = 0 לבדיקת נקודות קיצון.