מציאת נקודות קיצון ופישוט הנגזרת
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה y = (4x + 4)g(x) · 2x
חשב את נגזרת הפונקציה באמצעות כלל המנה ופשט את התוצאה. שנה את הנגזרת לאפס ומצא את נקודות הקיצון האפשריות.
נגזרתנקודות קיצוןפונקציה רציונליתפישוט
רמז: השתמש בכלל המנה: נגזרת של f/g היא (f' · g - f · g') חלקי g בריבוע.
פתרון מלא
תשובה סופית: x שבהם הנגזרת שווה לאפס הם נקודות קיצון אפשריות, לפי חישוב מדויק שבוצע בשיעור.
נחשב את הנגזרת לפי כלל המנה, נפתח סוגריים ונפשט לאגף אחד. לאחר מכן נשווה לאפס ונמצא את ערכי x המתאימים על ידי פתרון המשוואה שהתקבלה.
ניתוח תחומי עלייה וירידה בפונקציה
רמת קושי: בינוני
לפי נקודות הקיצון שמצאת, סמנו את התחומים שבהם הפונקציה עולה ואת התחומים שבהם היא יורדת על פי סימני הנגזרת.
تحليلחיובי ושליליתחום עליה וירידהפונקציה
רמז: הציבו נקודות שבין נקודות הקיצון וראו האם נגזרת הפונקציה חיובית או שלילית.
פתרון מלא
תשובה סופית: הפונקציה יורדת בין -∞ ל-1, עולה בין 1 ל-4, יורדת אחרי 4 בהתאם לסימני הנגזרת.
הצבת נקודות בקטעים המתאימים וניתוח סימני הנגזרת מאפשר לדעת מתי הפונקציה עולה ומתי היא יורדת.
חקירת פונקציה מלאה
רמת קושי: מאתגר
בצע חקירה מלאה של הפונקציה: מצא את הנגזרת, נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה, וציין מתי הפונקציה עולה ומתי היא יורדת.
חקירה מלאהנקודות קיצוןתחומי עלייה וירידהפונקציה
רמז: שלב שלב: נגזרת, חישוב ערכי x עם נפלאס ואפס, ניתוח נימוק וטבלה של סימני נגזרת.
פתרון מלא
תשובה סופית: הפונקציה בעלת נקודות קיצון במינימום ובמקסימום, ועלייה וירידה בתחומים המיוחסים לכל נקודה לפי הניתוח.
חישוב הנגזרת לפי כלל המנה, פתרון משוואות, ניתוח סימנים וסיכום תחומי המערכת.
בחינת נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה
רמת קושי: בגרות
נתונה פונקציה רציונלית. חשבו את הנגזרת, מצאו את נקודות הקיצון, וסמנו תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.
בגרותנקודות קיצוןתחום עלייה וירידהפונקציה רציונלית
רמז: השתמש בכלל המנה, פתרון משוואות ריבועיות, והצבה של ערכי בדיקה לסימני נגזרת.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחומי עלייה וירידה לפי סימני נגזרת, ונקודות קיצון בהתאם לפתרונות המשוואות.
חישוב נגזרת, פתירת המשוואה לאפס, בדיקת סימני נגזרת בתחומים שונים וסימון תחומי עליה וירידה.