בשיעור זה נחקר כיצד להציב ערכי x בביטוי מתמטי ולחלץ את ערך y, כיצד לזהות חיתוכים עם הצירים, ומהו תחום ההגדרה של פונקציות באמצעות התבוננות במכנה. בנוסף, מוצג שימוש במחשבון ובדסמוס ככלים לחקירת פונקציות ותחומי הגדרה.
להבין כיצד להציב ערכים בביטוי ולהפיק נקודות (x,y)
לזהות נקודות חיתוך עם ציר ה-x וציר ה-y
להגדיר תחום הגדרה ולהבין חשיבות למניעת חילוק באפס
להשתמש במחשבון ובכלי דסמוס לחקירת פונקציות
להסיק מגמות מהצבת ערכים גדולים וקטנים והבנת התנהגות הפונקציה
הצבת ערכי x וחישוב y: הסבר על הכנסת ערכי x לביטוי וחישוב הנקודות המתאימות במערכת הצירים.
חיתוכים עם הצירים: הבנת מיקום נקודות החיתוך עם ציר ה-x וה-y ודרך חישובן.
תחום ההגדרה: הסבר על תחום ההגדרה והסיבות לאי הכללת נקודות שבהן המכנה שווה לאפס.
שימוש במחשבון ובדסמוס: הדגמה כיצד מחשבונים וכלי דסמוס מסייעים בחקר הפונקציה והשוואת ערכים.

תרגול קצר

חישוב ערכי y עבור x נתון

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = (x^2 - 2x)/(x - 1). חשב את y כאשר x=0, x=2 ו-x=3.

חישוב ערכי פונקציההצבת ערכיםתחום הגדרה

רמז: יש להציב את ערך x בפונקציה בזהירות ולזכור את תחום ההגדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: y(0)=0, y(2)=0, y(3)=1.5

שמים x=0: y = (0 - 0)/(0 -1) = 0/(-1) = 0. שמים x=2: y = (4 - 4)/(2 -1) = 0/1 = 0. שמים x=3: y = (9 - 6)/(3 -1) = 3/2 = 1.5.

מציאת נקודות החיתוך עם הצירים

רמת קושי: בינוני

ממתין

לפי הפונקציה y = (x^2 - 2x)/(x - 1), מצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-x וציר ה-y.

חיתוך עם ציריםתחום הגדרה

רמז: חיתוך עם ציר y הוא כאשר x=0, חיתוך עם ציר x הוא כאשר y=0 (לתוך תחום ההגדרה).

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות חיתוך עם ציר y: (0,0); נקודות חיתוך עם ציר x: (0,0), (2,0)

חיתוך עם ציר y: x=0 y=(0-0)/(0-1)=0 נקודת חיתוך: (0,0) חיתוך עם ציר x: y=0 המונה = 0 => x^2 - 2x = 0 x(x-2)=0 x=0 או x=2 יש לבדוק תחום הגדרה: x=1 אסור נקודות חיתוך עם ציר x: (0,0) ו-(2,0)

חקירת תחום ההגדרה ושימוש במחשבון

רמת קושי: מאתגר

ממתין

לפי y = (x^2 - 2x)/(x - 1), מצא את תחום ההגדרה, הסבר למה x=1 אינו בתחום ההגדרה, וחשוב מה קורה כאשר x מתקרב ל-1 מימין ומשמאל.

תחום הגדרהגבולות ואסימפטוטותמחשבון

רמז: תחום ההגדרה מונע מחלק באפס; נבדוק ערכי הגבול כאשר x מתקרב ל-1 משני הצדדים.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: x כל מספר מלבד 1; פונקציה שואפת למינוס אינסוף כש-x מתקרב ל-1 משני הצדדים

תחום ההגדרה: כל x כך ש-x ≠ 1 למה? כי אם x=1, המכנה שואף ל-0, הפונקציה לא מוגדרת בבדיקת גבולות: כש-x מתקרב ל-1 מימין (x>1): הפונקציה שואפת למינוס אינסוף כש-x מתקרב ל-1 משמאל (x<1): הפונקציה שואפת למינוס אינסוף כך יש אסימפטוטה אנכית ב-x=1

ניתוח פונקציה וחיתוכים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה y = (x^2 - 2x)/(x - 1). מצא את תחום ההגדרה, נקודות החיתוך עם ציר x וה-y, והסבר את התנהגות הפונקציה סביב x=1.

בחינות בגרותניתוח פונקציהתחום הגדרהחיתוכים

רמז: בדוק איפה המכנה מתאפס, חשב חיתוכים עם הצירים והשתמש בידע על מגמות ערכיות.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל x פרט ל-1; חיתוך עם ציר y ב-(0,0); חיתוכים עם ציר x ב-(0,0) ו-(2,0); אסימפטוטה אנכית ב-x=1

תחום ההגדרה: x ≠ 1 (כי x=1 מביא למכנה 0). חיתוך עם ציר y: x=0 → y=0 חיתוך עם ציר x: y=0 → נכפיל במכנה ונפתור: x(x-2)=0 → x=0,2 סביב x=1 יש אסימפטוטה אנכית, פונקציה מתקרבת למינוס אינסוף משני הצדדים.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

איך למצוא את נקודות החיתוך עם הצירים

למען הבנת פונקציה שברית

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות חיתוך עם ציר x / נקודות חיתוך עם ציר y
נתון 1
נתון 1
y = (x^2 - 2x) / (x - 1)
רעיון
הרעיון המרכזי
למצוא נקודת חיתוך עם הציר y מציבים x=0 ולחשב y, ולמצוא חיתוך עם ציר x משווים y=0 ופונים לפתור את
נוסחה
נכין את הפונקציה y = (x^2 - 2x)/(x - 1)
y = (x^2 - 2x) / (x - 1)y=(x^2 - 2x)/(x - 1)
משוואה
מפצלים למכפלה x(x-2)=0 → x=0 או x=2
מפצלים למכפלה x(x-2)=0 → x=0 או x=2
x = 0 או x = 2x=0 או x=2
פישוט
y = 0 / (-1) = 0
y = 0 / (-1) = 0
y = 0y=0
תוצאה
מסיימים בתשובה
נקודות החיתוך הן (0,0) עם ציר y ו-(0,0), (2,0) עם ציר x
בדיקה
בדיקה קצרה
- זכור להציב x=0 למציאת חיתוך y
- כדי למצוא חיתוך עם x, שווה y ל-0 ופתור
- זהירות: לכלול x=1 כחיתוך למרות איסור בתחום ההגדרה

פתרונות כלליים

חישוב ערכי y עבור x נתון: שמים x=0: y = (0 - 0)/(0 -1) = 0/(-1) = 0. שמים x=2: y = (4 - 4)/(2 -1) = 0/1 = 0. שמים x=3: y = (9 - 6)/(3 -1) = 3/2 = 1.5.
מציאת נקודות החיתוך עם הצירים: חיתוך עם ציר y: x=0 y=(0-0)/(0-1)=0 נקודת חיתוך: (0,0) חיתוך עם ציר x: y=0 המונה = 0 => x^2 - 2x = 0 x(x-2)=0 x=0 או x=2 יש לבדוק תחום הגדרה: x=1 אסור נקודות חיתוך עם ציר x: (0,0) ו-(2,0)
חקירת תחום ההגדרה ושימוש במחשבון: תחום ההגדרה: כל x כך ש-x ≠ 1 למה? כי אם x=1, המכנה שואף ל-0, הפונקציה לא מוגדרת בבדיקת גבולות: כש-x מתקרב ל-1 מימין (x>1): הפונקציה שואפת למינוס אינסוף כש-x מתקרב ל-1 משמאל (x<1): הפונקציה שואפת למינוס אינסוף כך יש אסימפטוטה אנכית ב-x=1
ניתוח פונקציה וחיתוכים: תחום ההגדרה: x ≠ 1 (כי x=1 מביא למכנה 0). חיתוך עם ציר y: x=0 → y=0 חיתוך עם ציר x: y=0 → נכפיל במכנה ונפתור: x(x-2)=0 → x=0,2 סביב x=1 יש אסימפטוטה אנכית, פונקציה מתקרבת למינוס אינסוף משני הצדדים.

הפריט הקודם הפריט הבא

א2. הבנת המחשבון ומערכת הצירים - חשוב ביותר

ניווט לפי נושאים

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודות חיתוך עם ציר x / נקודות חיתוך עם ציר y

נתון 1

הרעיון המרכזי

נכין את הפונקציה y = (x^2 - 2x)/(x - 1)

מפצלים למכפלה x(x-2)=0 → x=0 או x=2

y = 0 / (-1) = 0

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הגדרת הפונקציה

מציאת חיתוך עם ציר y

חישוב y ב-x=0

מציאת חיתוך עם ציר x

פיתרון המשוואה

נקודות חיתוך עם הצירים

פתרונות כלליים