השיעור עוסק בתחומי הגדרה של פונקציות המערבות שורשים ויחסיים, והקשר בין תחום ההגדרה לבין הצגה על מערכת הצירים, כולל הבנת אי-שוויונות בתחום הגדרה והשפעת המונה והמכנה על התחום.
להבין מתי ביטוי של שורש בריבוע הוא חיובי או אפס
להבין את ההבדל בין הגדלת ערכים באי-שוויון גדול שווה לאפס לבין גדול מאפס
לנתח תחום הגדרה של פונקציות שרירותיות המשלבות שורשים במונה ובמכנה
לדעת לפתור אי-שוויונות הנובעים מתחום הגדרה
לזהות נקודות קיצון חשובים במערכת הצירים ביחס לתחום ההגדרה
ליישם את החוקים למציאת תחום ההגדרה והשפעתם על הצירים והקווים (רציפים ומקווקווים) במערכת הצירים
אי-שוויון בשורש בריבוע: שורש של ריבוע של משתנה הוא תמיד גדול או שווה לאפס, ויש להיזהר לא להכתיב ש-X גדול שווה אפס כי זה שולל את הערכים השליליים המותרים.
השפעת ביטוי שורש במכנה על תחום ההגדרה: כאשר הביטוי עם שורש מופיע במכנה, התחום הוא מוגבל לאזורי X בהם הביטוי חיובי וחסר נקודות בהם המכנה אפס, מה שמשפיע על קווים רציפים למקווקווים במערכת הצירים.
פתרון תחום הגדרה בפונקציה יחסית עם שורשים: על פי השיעור, הפתרון מחייב לבדוק מתי המונה שווה לאפס והמכנה שונה מאפס ולרשום את זה בצורה של טווחים עם קווים רציפים וקווי מקווקו במערכת הצירים.

תרגול קצר

אי-שוויון פשוט בשורש ריבוע

רמת קושי: קל

ממתין

הראה כי ∀x אמיתי מתקיים x² ≥ 0 והסבר מדוע אי-שוויון זה אינו דורש הגבלה נוספת על x.

אי-שוויון בסיסישורש ריבוע

רמז: חשוב לזכור מה משמעות ריבוע מספר ממשי.

פתרון מלא

תשובה סופית: x ∈ כל המספרים הממשיים

הריבוע של כל מספר ממשי הוא תמיד חיובי או אפס. לכן, הביטוי x² ≥ 0 תמיד נכון ללא תלות בערך של x.

תחום הגדרה של שורש במונה

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = √(x - 2).

תחום הגדרהשורש במונה

רמז: הביטוי בתוך השורש חייב להיות גדול או שווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: x ≥ 2

נפתור את האי-שוויון: x - 2 ≥ 0 ⇨ x ≥ 2 לכן תחום ההגדרה: x ∈ [2, ∞)

תחום הגדרה של פונקציה יחסית עם שורש במכנה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = √(x - 2) / (5 - x).

תחום הגדרהשורש במכנהפונקציה יחסית

רמז: הביטוי תחת השורש במכנה חייב להיות גדול מ-0 והמכנה לא יכול להיות אפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2 < x < 5

תחום ההגדרה מוגדר על ידי: 1) המכנה: 5 - x ≠ 0 ⇨ x ≠ 5 2) ביטוי השורש במכנה: x - 2 > 0 ⇨ x > 2 לכן תחום ההגדרה: 2 < x < 5

פונקציה עם שורש במכנה ומונה

רמת קושי: בגרות

ממתין

בפתרון תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = √(x - 2) / (5 - x) דרוש להגדיר את התחום כך שמונה השורש במונה גדול או שווה לאפס והמכנה שונה מאפס בלבד. כתוב את תחום ההגדרה והסבר.

בגרותתחום הגדרהשורש במונהשורש במכנה

רמז: חשוב לזכור שהשורש במונה יכול להיות אפס, אך הביטוי במכנה חייב להיות שונה מאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2 ≤ x < 5

1) תחום השורש במונה: x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 2) המכנה: 5 - x ≠ 0 ⇒ x ≠ 5 נוסף לכך, הביטוי במכנה √(5 - x) מחייב 5 - x > 0 ⇒ x < 5 לכן תחום ההגדרה הוא: 2 ≤ x < 5

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = √(x - 2) / (5 - x)

ניתוח תחום הגדרה עבור פונקציה עם שורש בחלק המונה ומכנה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה של f
נתון 1
נתון 1
f(x) = √(x - 2) / (5 - x)
רעיון
הרעיון המרכזי
לבדוק תנאים עבור המונה והמכנה ולהרכיב תחום הגדרה הכולל את שני התנאים.
נוסחה
x - 2 ≥ 0
x - 2 >= 0x - 2 ≥ 0
משוואה
5 - x > 0
5 - x > 0
5 - x > 0
פישוט
למצוא את התחום שמקיים את שני התנאים בו זמנית.
למצוא את התחום שמקיים את שני התנאים בו זמנית.
תוצאה
מסיימים בתשובה
המכנה אינו יכול להיות אפס, והביטוי תחת שורש במכנה גדול מ-0.
בדיקה
בדיקה קצרה
- האם x עומד באי-שוויון של המונה?
- האם x עומד באי-שוויון של המכנה?
- זהירות: השמטת תנאי המכשול (המכנה) וכתיבת תחום שגוי

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

מה הידוע מהפונקציה?

מה עושים

הפונקציה מכילה שורש במונה ומכנה עם ביטויים תלויים ב-x.

למה

צריך לבדוק מתי הביטויים תקינים כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת.

בחירת שיטה

הגדרת תנאים על המונה

מה עושים

הביטוי בתוך השורש במונה חייב להיות גדול או שווה לאפס.

למה

שורש מחויב להיות מוגדר במתמטיקה ממשית.

בניית משוואה

אי-שוויון מונה

מה עושים

x - 2 ≥ 0

למה

לפי כלל תחום הגדרה לשורש במונה.

נוסחה / הצבה

x - 2 >= 0x - 2 ≥ 0

הפתרון הוא x ≥ 2.

בחירת שיטה

תנאים על המכנה

מה עושים

המכנה אינו יכול להיות אפס, והביטוי תחת שורש במכנה גדול מ-0.

למה

חלוקה באפס אינה מוגדרת וצריך שהשורש במכנה יהיה חיובי ולא אפס.

בניית משוואה

אי-שוויון במכנה

מה עושים

5 - x > 0

למה

שורש במכנה מחייב חיוביות לאפס.

נוסחה / הצבה

5 - x > 0

הפתרון הוא x < 5.

פתרון

חיתוך תחומי ההגדרה

מה עושים

למצוא את התחום שמקיים את שני התנאים בו זמנית.

למה

תחום ההגדרה הוא ההצטלבות של x ≥ 2 ו-x < 5.

תחום ההגדרה הוא 2 ≤ x < 5.

פתרונות כלליים

אי-שוויון פשוט בשורש ריבוע: הריבוע של כל מספר ממשי הוא תמיד חיובי או אפס. לכן, הביטוי x² ≥ 0 תמיד נכון ללא תלות בערך של x.
תחום הגדרה של שורש במונה: נפתור את האי-שוויון: x - 2 ≥ 0 ⇨ x ≥ 2 לכן תחום ההגדרה: x ∈ [2, ∞)
תחום הגדרה של פונקציה יחסית עם שורש במכנה: תחום ההגדרה מוגדר על ידי: 1) המכנה: 5 - x ≠ 0 ⇨ x ≠ 5 2) ביטוי השורש במכנה: x - 2 > 0 ⇨ x > 2 לכן תחום ההגדרה: 2 < x < 5
פונקציה עם שורש במכנה ומונה: 1) תחום השורש במונה: x - 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 2) המכנה: 5 - x ≠ 0 ⇒ x ≠ 5 נוסף לכך, הביטוי במכנה √(5 - x) מחייב 5 - x > 0 ⇒ x < 5 לכן תחום ההגדרה הוא: 2 ≤ x < 5

הפריט הקודם הפריט הבא

ב3. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים

ניווט לפי נושאים

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה של f

נתון 1

הרעיון המרכזי

x - 2 ≥ 0

5 - x > 0

למצוא את התחום שמקיים את שני התנאים בו זמנית.

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

מה הידוע מהפונקציה?

הגדרת תנאים על המונה

אי-שוויון מונה

תנאים על המכנה

אי-שוויון במכנה

חיתוך תחומי ההגדרה

פתרונות כלליים