וידאו · תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון
ב8. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- הסבר יסודי על תחום הגדרה של פונקציה והמשמעות שלו ביחס למערכת הצירים, כולל דוגמאות לחיתוכים עם הצירים ושאיפות של הפונקציה.
- להבין מהו תחום הגדרה של פונקציה
- לזהות אילו ערכי x מקובלים בפונקציה מסוימת
- לנתח חיתוכים עם ציר y
- להבין משמעות השאיפה של פונקציה לערכים מסוימים
- ליישם עקרונות אלו בסריקות וסקיצות גרפיות
- מהו תחום הגדרה?: תחום הגדרה הוא קבוצת כל הערכים בהם הפונקציה מוגדרת, כלומר הקלטים האפשריים של המשתנה x.
- חיתוכים עם מערכת הצירים: נלמד מה משמעות חיתוך הפונקציה עם ציר ה-y ומה התנאים לחיתוך עם הצירים.
- שאיפות וערכי קיצון: נדון במה משמעות השאיפה של הפונקציה לערך מסוים ובנקודות קיצון קרובות.
תרגול קצר
מציאת תחום ההגדרה של פונקציה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x)=1/x. מצא את תחום ההגדרה שלה.
רמז: הפונקציה לא מוגדרת כאשר המכנה שווה לאפס.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל x ממשיים, x לא שווה ל-0.
על מנת שהפונקציה g(x)=1/x תהיה מוגדרת, יש לוודא ש-x לא שווה לאפס כי לא ניתן לחלק באפס. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-x=0.
בדיקת חיתוך עם ציר ה-y
רמת קושי: בינוני
בדוק האם לפונקציה f(x)=ln(x) חיתוך עם ציר y.
רמז: חיתוך עם ציר y מוצאים כאשר x=0, האם זה בתחום ההגדרה?
פתרון מלא
תשובה סופית: אין חיתוך עם ציר y.
פונקציית הלוגריתם הטבעי מוגדרת רק עבור x>0, ולכן בנקודה x=0 הפונקציה אינה מוגדרת. לכן אין חיתוך עם ציר y.
דרך הפתרון
מציאת תחום ההגדרה של f(x)=1/x
מפת פתרון
- מטרה
למצוא תחום ההגדרה של f
- נתון 1
נתון 1
f(x)=1/x - רעיון
הרעיון המרכזי
למצוא את כל ערכי x שמאפשרים הגדרת הפונקציה, כלומר שבהם המכנה אינו אפס.
- נוסחה
x לא שווה ל-0
x ≠ 0 - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
תחום ההגדרה: כל המספרים הממשיים פרט ל-0
תחום ההגדרה: כל x ממשיים אך x ≠ 0 - בדיקה
בדיקה קצרה
- האם הפונקציה מוגדרת בכל x?
- מהם הערכים שאינם בתחום ההגדרה?
- זהירות: שכחת לכלול איסור על x=0 בתחום ההגדרה.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון הפונקציה
זיהוי נתונים
נתון הפונקציה
מה עושים
מספרים ממשיים x ונוסחת f(x)=1/x
למה
לפני כל דבר יש להבין במה מדובר
הפונקציה מגדירה את הערך באמצעות חילוק ב-x.
זכור שלחלוקה באפס אין משמעות.
2בחירת שיטה
לזהות איפה הפונקציה מוגדרת
בחירת שיטה
לזהות איפה הפונקציה מוגדרת
מה עושים
הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה שווה ל-0
למה
חלוקה באפס אינה מוגדרת במתמטיקה
מחפשים את כל הערכים המאפשרים מכנה שונה מאפס.
3בניית משוואה
לכתוב את התנאי על x
בניית משוואה
לכתוב את התנאי על x
מה עושים
x לא שווה ל-0
למה
זו הנקודה הלא מותרת בתחום ההגדרה
תחום ההגדרה הוא כל ה-x למעט 0.
נוסחה / הצבה
x ≠ 04תשובה
לסכם תחום הגדרה
תשובה
לסכם תחום הגדרה
מה עושים
תחום ההגדרה: כל המספרים הממשיים פרט ל-0
למה
זו המסקנה שסיכמנו לפי התנאים
תחום ההגדרה הוא R ללא האפס
נוסחה / הצבה
תחום ההגדרה: כל x ממשיים אך x ≠ 0מצוין לזכור תחומים בסימני אי שוויון.
פתרונות כלליים
- מציאת תחום ההגדרה של פונקציה: על מנת שהפונקציה g(x)=1/x תהיה מוגדרת, יש לוודא ש-x לא שווה לאפס כי לא ניתן לחלק באפס. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-x=0.
- בדיקת חיתוך עם ציר ה-y: פונקציית הלוגריתם הטבעי מוגדרת רק עבור x>0, ולכן בנקודה x=0 הפונקציה אינה מוגדרת. לכן אין חיתוך עם ציר y.