וידאו · תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ב3. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
ב4. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
ב5. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
ב6. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
ב7. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
ב8. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
פתרון משוואה ריבועית עם גדרות התחום
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה x בריבוע ועוד שני x מינוס 3 שווה 153, וקבע את תחום ההגדרה הפונקציונלי בהתאם למכנים.
רמז: זהה איפה המכנה מתאפס וחשב את השורשים של המשוואה.
תשובה סופית: השורשים הם x = 12 ו-x = -13. תחום ההגדרה הוא כל x פרט ל-x=0 ו-x=-3 (מקומות בהם המכנים מתאפסים).
ע"פ המשוואה x^2 + 2x - 3 = 153, נעביר את 153 לצד שמאל: x^2 + 2x - 156 = 0. נפתור באמצעות נוסחת השורשים. בנוסף נבדוק איפה המכנה אפס (למשל ב-x=0 ו-x=-3) ונגדיר תחום הגדרה ללא הנקודות האלו.
ניתוח התנהגות פונקציה סביב סימפטוטות
רמת קושי: בינוני
הצג כיצד הפונקציה מתנהגת סביב x=1 ו-x=-3 ומה משמעות ההתנהגות הזו על הגרף.
רמז: הצבת ערכים קרובים ל-1 ומינוס 3 וניתוח ערכי y שמתקבלים.
תשובה סופית: הפונקציה שואפת ל-y=1 מלמעלה ומלמטה סביב x=1. סביב x=-3 ישנן סימפטוטות אנכיות שמעליהן ותחתיהן פונקציה לא ממשיכה ולכן התחום מוגבל.
על ידי הצבת x=1+0.001 ו-x=1-0.001 קיבלנו ערכים של y מעל ומתחת ל-1 בהתאמה, מה שמראה שהגרף מתקרב לסימפטוטה אופקית y=1. סביב x=-3 מתקבלת התנהגות דומה לגבי הסימפטוטה האנכית.
סקיצה וניתוח נקודות קיצון בסביבת סימפטוטות
רמת קושי: מאתגר
סקור את התהליך להבנה של נקודות הקיצון של הפונקציה בהתבסס על סימפטוטות ואופן עליה וירידה של הפונקציה כפי שצוין בשיעור.
רמז: שקול את ההשפעות הגרפיות של הסימפטוטות ואופן קפיצת הפונקציה בין ערכי y שונים.
תשובה סופית: נקודות קיצון נובעות מהתקרבות הפונקציה לסימפטוטות, ומתהליך החצייה בין ערכי y גבוהים ונמוכים סביב סימפטוטות אנכיות ואופקיות כפי שצוינו בשיעור.
באמצעות נקודות חיתוך וניתוח ערכי y סביב הסימפטוטות ניתן לראות עלייה וירידה המחולקות על ידי סימפטוטות אנכיות. זה יוצר נקודות קיצון שניתן לזהות בעת חקירת הפונקציה עם המחשבון ובניית הסקיצה.
חקר תחום הגדרה וסימפטוטות של פונקציה רציונלית
רמת קושי: בגרות
בהינתן פונקציה הכוללת מכנים שיכולים להתאפס ב-x=0 וב-x=-3, חקור את תחום ההגדרה, מצא את נקודות החיתוך עם הצירים, והסבר את תכונות הסימפטוטות האנכיות והאופקיות שלה.
רמז: בדוק איפה המכנה מתאפס, הצב ערכים קרובים לנקודות אלו, ונתח את ערכי הפונקציה במחשבון.
תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל x\neq 0, -3. סימפטוטות אנכיות: x=0, x=-3. סימפטוטה אופקית: y=1. נקודות חיתוך בהתאם לשורשי המונה.
תחום ההגדרה כולל את כל ערכי x פרט ל-0 ולמינוס 3, שם המכנים מתאפסים. נקודות החיתוך עם ציר x הן השורשים של המונה. הסימפטוטות האנכיות הן ב-x=0 וב-x=-3. הסימפטוטה האופקית היא y=1 כפי שניתן לראות בהתקרבות הפונקציה לערכים קרובים ל-1 עבור ערכי x גדולים לטווח חיובי ושלילי.
איך לחקור תחום הגדרה ופונקציה עם סימפטוטות
פונקציה רציונלית עם מכנים שמתאפסים ב-x=0 ו-x=-3נזהה איפה המכנה מתאפס, נמצא נקודות חיתוך על ידי הצבת ערכי y=0 ו-x חופשי, וננתח התנהגות הפונקציה
x^2 + 2x - 156 = 0הפונקציה כוללת מכנים שמתאפסים ב-x=0 ו-x=-3 והמשוואה x^2 + 2x - 3 = 153.
מחשבים שורשי המשוואה: x=12, x=-13.
x = -1 ± שורש (1+156)x = -1 ± √(1 + 156)מוסיפים ערכים סביב x=0 ו-x=-3 ובודקים התנהגות הפונקציה במחשבון.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
הפונקציה כוללת מכנים שמתאפסים ב-x=0 ו-x=-3 והמשוואה x^2 + 2x - 3 = 153.
למה
חשוב לדעת איפה המכנים מתאפסים כדי להגדיר תחום הגדרה מדויק.
זיהוי המקומות בהם המכנים מתאפסים מסמן נקודות אסורה בתחום ההגדרה.
בחירת שיטה
מה עושים
תחום ההגדרה הוא כל x למעט נקודות המכנה שמתאפסות.
למה
כדי להימנע מחלוקה באפס ולשמור על פונקציה מוגדרת.
נקודות אסורות הן x=0 ו-x=-3 ולכן תחום ההגדרה הוא כל הערכים מלבד אלו.
בניית משוואה
מה עושים
משווים x^2 + 2x - 3 = 153 ופותרים את המשוואה למציאת נקודות חיתוך.
למה
למצוא ערכי x שבהם y=0 כלומר נקודות חיתוך עם ציר ה-x.
מעבירים 153 לצד שמאל וקובעים משוואה ריבועית שניתן לפתור בשורשים.
נוסחה / הצבה
x^2 + 2x - 156 = 0השתמש בנוסחת השורשים לפתרון.
פתרון
מה עושים
מחשבים שורשי המשוואה: x=12, x=-13.
למה
קבלת ערכי x לנקודות החיתוך עם ציר ה-x.
שורשי המשוואה נותנים נקודות שבהן y=0.
נוסחה / הצבה
x = -1 ± שורש (1+156)x = -1 ± √(1 + 156)x = -1 1 + 156בדיקה
מה עושים
מוסיפים ערכים סביב x=0 ו-x=-3 ובודקים התנהגות הפונקציה במחשבון.
למה
לאשר שתחום ההגדרה לא כולל את הנקודות שבהן המכנה מתאפס.
הצבה בערכים קצת מעל ומתחת ל-0 ול-3 מניבה ערכי y קיצוניים המצביעים על סימפטוטות אנכיות.
השתמש במחשבון להצבות מדויקות.
תשובה
מה עושים
תחום ההגדרה הוא כל x פרט ל-x=0 ו-x=-3. הסימפטוטות האנכיות ב-x=0 ו-x=-3 והסימפטוטה האופקית y=1.
למה
מחזק הבנה לפונקציה ועל התנהגותה בגרף.
נקודות החיתוך הן x=12, x=-13, הפונקציה שואפת לערך y=1 עבור ערכים גדולים וחיוביים ושליליים של x.