בשיעור זה נלמד על אינטגרלים שבהם יש מכפלה או מנה של פונקציות, המשולבים בקשר של נגזרת בין הגורמים, ונפתרים באמצעות שיטת ההצבה. נזהה תבנית בה מופיע גורם מסובך וגורם פשוט שהוא נגזרתו או קרוב לנגזרתו, מה שמאפשר לפתור אותם ביעילות.
להבין את התבנית של שיטת ההצבה באינטגרלים מיוחדים
לזהות בקשר בין פונקציות לנגזרותיהן בחלקים של האינטגרל
ליישם שיטת ההצבה לפישוט אינטגרלים עם פונקציות מורכבות
להגיב לזהירות בשימוש בשיטת ההצבה כשיש השוואה לנגזרות שאינן מדויקות במלואן
מבוא לשיטת ההצבה באינטגרלים: אנליזה של אינטגרלים בהם יש מכפלה או מנה של פונקציות, וחיפוש קשר בין הפונקציה המורכבת והנגזרת שלה.
זיהוי גורם מורכב ודרך מציאת הנגזרת שלו: כל אינטגרל מורכב מכיל גורם מסובך וגורם פשוט יותר שקשור לנגזרת שלו.
תכונות מרכזיות של שיטת ההצבה: הבחנה במספר דוגמאות של משוואות עם פולינומים וחזקות, וכן פונקציות טריגונומטריות כמו טנגנט וקוסינוס

תרגול קצר

אינטגרל עם פונקציה ומנה שלה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל \( \int (2x - 1) / \sqrt{x^2 - x + 1} \, dx \)

אינטגרליםשיטת ההצבהפונקציות מורכבות

רמז: נסה להציב \( t = x^2 - x + 1 \) ונגזרתו \( dt = (2x - 1) dx \)

פתרון מלא

תשובה סופית: 2 \sqrt{x^2 - x + 1} + C

נגדיר \( t = x^2 - x + 1 \), לכן \( dt = (2x - 1) dx \). האינטגרל הופך ל-\( \int 1 / \sqrt{t} \, dt \), שהוא \( 2 \sqrt{t} + C \). מחזירים ל-\( x \) ומקבלים \( 2 \sqrt{x^2 - x + 1} + C \).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל באמצעות שיטת ההצבה

דוגמה: אינטגרל של פונקציה ומנה שלה בתוך שורש

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך האינטגרל לפונקציה הנתונה
נתון 1
נתון 1
האינטגרל \( (2x - 1)/(x^2 - x + 1) dx \)
רעיון
הרעיון המרכזי
נציב את הפונקציה המורכבת נעשה הצבה של הפונקציה שבתוך השורש ואז נשתמש בנגזרתה כדי לפשט את
נוסחה
מחליפים \( 2x - 1 dx = dt \) ולכן האינטגרל הופך ל-\( \int 1 / \sqrt{t}
integral 1 over sqrt t dt(1)/(t) dt
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
האינטגרל של \( t^{-1/2} \) הוא \( 2 t^{1/2} + C \)
האינטגרל של \( t^{-1/2} \) הוא \( 2 t^{1/2} + C \)
2 sqrt t plus constant2 t + C
תוצאה
מסיימים בתשובה
נחליף \( t \) חזרה ל-\( x^2 - x + 1 \)
2 sqrt x squared minus x plus 1 plus constant2 x^2 - x + 1 + C
בדיקה
בדיקה קצרה
- זיהוי נכון של הפונקציה הפנימית להצבה
- חישוב נכון של נגזרת הפונקציה
- זהירות: אי זיהוי נכון של הפונקציה הפנימית

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה שבתוך השורש

מה עושים

נזהה את הפונקציה \( t = x^2 - x + 1 \)

למה

הפונקציה הפנימית היא הבסיס להצבה ופישוט האינטגרל

הפונקציה היא פולינום מסדר שני בתוך השורש

חיפוש פונקציה שבתוכה נמצאים ביטויים מסובכים

בחירת שיטה

מציאת הנגזרת ומציאת צורה לצורך הצבה

מה עושים

נחשב את נגזרת \( t \), שהיא \( dt = (2x - 1) dx \)

למה

הנגזרת מאפשרת החלפה של הסממנים באינטגרל לצורה פשוטה יותר

הנגזרת של \( t \) נמצאת במונה האינטגרל, מה שמראה פוטנציאל להצבה

הנגזרת היא המפתח לשיטה

בניית משוואה

נכתוב את האינטגרל מחדש עם הצבה

מה עושים

מחליפים \( 2x - 1 dx = dt \) ולכן האינטגרל הופך ל-\( \int 1 / \sqrt{t} dt \)

למה

החלפה זו מפשטת את האינטגרל בצורה משמעותית

הפיכת אינטגרל עם פונקציה מסובכת לאינטגרל פשוט של חזקת \( t \)

נוסחה / הצבה

integral 1 over sqrt t dt(1)/(t) dt

להיזכר שמטרת ההצבה היא להוריד את הסיבוך

פתרון

חשב אינטגרל חזקת שורש

מה עושים

האינטגרל של \( t^{-1/2} \) הוא \( 2 t^{1/2} + C \)

למה

אנחנו משתמשים בכלל האינטגרלים לחזקות פשוטות

פשטנו את האינטגרל לצורה מוכרת וקלירה

נוסחה / הצבה

2 sqrt t plus constant2 t + C

השתמש בכלל האינטגרל של חזקות

תשובה

החזר את הייצוג למשתנה המקורי

מה עושים

נחליף \( t \) חזרה ל-\( x^2 - x + 1 \)

למה

התשובה צריכה להיות במונחי המשתנה המקורי של האינטגרל

נוסחה / הצבה

2 sqrt x squared minus x plus 1 plus constant2 x^2 - x + 1 + C

שמור על מבנה התוצאה קריא וברור

פתרונות כלליים

אינטגרל עם פונקציה ומנה שלה: נגדיר \( t = x^2 - x + 1 \), לכן \( dt = (2x - 1) dx \). האינטגרל הופך ל-\( \int 1 / \sqrt{t} \, dt \), שהוא \( 2 \sqrt{t} + C \). מחזירים ל-\( x \) ומקבלים \( 2 \sqrt{x^2 - x + 1} + C \).

הפריט הקודם הפריט הבא

ב1. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ-806

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך האינטגרל לפונקציה הנתונה

נתון 1

הרעיון המרכזי

מחליפים \( 2x - 1 dx = dt \) ולכן האינטגרל הופך ל-\( \int 1 / \sqrt{t}

נבנה משוואה

האינטגרל של \( t^{-1/2} \) הוא \( 2 t^{1/2} + C \)

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הפונקציה שבתוך השורש

מציאת הנגזרת ומציאת צורה לצורך הצבה

נכתוב את האינטגרל מחדש עם הצבה

חשב אינטגרל חזקת שורש

החזר את הייצוג למשתנה המקורי

פתרונות כלליים