שיעור זה מתמקד בשיטת ההצבה לפתרון אינטגרלים מסוגים מיוחדים, באמצעות המרה של משתנה האינטגרציה והחלפת הביטוי הפונקציונלי בהתאם.
להבין את שיטת ההצבה לפתרון אינטגרלים
להשתמש בהמרת משתנים ומשוואות דיפרנציאליות באינטגרלים
לתרגל המרה בין משתנים ושימוש בבקרה לפתרון נכון
לבצע פישוטים תוך כדי פתרון אינטגרלים
הצגת השיעור: הסבר על המרת משתנה באינטגרל הכולל ביטוי עם שורש במשתנה X והחלפתו למשתנה T.

תרגול קצר

פתור את האינטגרל ∫ (1/√x) dx

רמת קושי: קל

ממתין

השתמש בשיטת ההצבה והמר את המשתנה המאינטגר לפונקציה פשוטה יותר כדי לפתור את האינטגרל ∫ (1/√x) dx.

אינטגרליםשיטת ההצבהמרת משתנים

רמז: הגדר T = שורש של x, גזול את dx לפי dT והחלף את כל הביטויים במשתנה T.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2√x + C

הגדר T = שורש x, לכן x = T^2. נגזור: dx = 2T dT. האינטגרל הוא ∫ (1/√x) dx = ∫ (1/T) * 2T dT = ∫ 2 dT = 2T + C. נחליף בחזרה T = שורש x: התוצאה היא 2√x + C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל ∫ (1/√x) dx בשיטת ההצבה

מדריך שלבי לפתרון אינטגרלים מיוחדים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תוצאת האינטגרל לאחר הצבת משתנה
נתון 1
האינטגרל ∫ (1/√x) dx
רעיון
הרעיון המרכזי
הגשמה של הצבת המשתנה T=√x וקבלת אינטגרל פשוט ב-T.
נוסחה
החלף את 1/√x ב-1/T ו-dx ב-2T dT.
integral (1/T) * 2T dT∫ (1/T) * 2T dT(1)/(T) * 2T dT
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
פשט את הביטוי לאינטגרל של 2 dT וחשב.
פשט את הביטוי לאינטגרל של 2 dT וחשב.
integral 2 dT = 2T + C∫ 2 dT = 2T + C
תוצאה
מסיימים בתשובה
החלף את T חזרה ל-√x בסוף התוצאה.
בדיקה
בדיקה קצרה
- הגדרת משתנה הצבה מתאים
- המרת דיפרנציאל dx ל-dT נכון
- זהירות: שכחה להמיר dx ל- dT

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת משתנה חדש

מה עושים

הגדר T להיות שורש של X, כלומר T = √x.

למה

פישוט הביטוי באינטגרל באמצעות משתנה נוח יותר.

במקום לחשב ישירות, מעבירים למשתנה T פשוט יותר.

בחירת שיטה

חישוב דיפרנציאל dx

מה עושים

נגזור x ביחס ל-T: dx = 2T dT.

למה

כדי להחליף את dx במונחים של dT.

מכיוון ש-x = T², הנגזרת היא 2T dT.

בניית משוואה

החלפת האינטגרל במשתנה T

מה עושים

החלף את 1/√x ב-1/T ו-dx ב-2T dT.

למה

המרת אינטגרל במשתנה X לאינטגרל במשתנה T.

הפונקציה הופכת ל-∫ (1/T) * 2T dT.

נוסחה / הצבה

integral (1/T) * 2T dT∫ (1/T) * 2T dT(1)/(T) * 2T dT

פתרון

פישוט האינטגרל ופתירה

מה עושים

פשט את הביטוי לאינטגרל של 2 dT וחשב.

למה

אינטגרל פשוט וקבוע.

∫ 2 dT שווה 2T + C.

נוסחה / הצבה

integral 2 dT = 2T + C∫ 2 dT = 2T + C2 dT = 2T + C

תשובה

החזרת התוצאה למשתנה X

מה עושים

החלף את T חזרה ל-√x בסוף התוצאה.

למה

הפתרון צריך להיות במשתנה המקורי

התוצאה הסופית היא 2√x + C.

פתרונות כלליים

פתור את האינטגרל ∫ (1/√x) dx: הגדר T = שורש x, לכן x = T^2. נגזור: dx = 2T dT. האינטגרל הוא ∫ (1/√x) dx = ∫ (1/T) * 2T dT = ∫ 2 dT = 2T + C. נחליף בחזרה T = שורש x: התוצאה היא 2√x + C.

הפריט הקודם הפריט הבא

א6. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תוצאת האינטגרל לאחר הצבת משתנה

האינטגרל ∫ (1/√x) dx

הרעיון המרכזי

החלף את 1/√x ב-1/T ו-dx ב-2T dT.

נבנה משוואה

פשט את הביטוי לאינטגרל של 2 dT וחשב.

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הגדרת משתנה חדש

חישוב דיפרנציאל dx

החלפת האינטגרל במשתנה T

פישוט האינטגרל ופתירה

החזרת התוצאה למשתנה X

פתרונות כלליים