בשיעור זה נלמד כיצד לחשב אינטגרלים מיוחדים באמצעות שיטת ההצבה, תוך דגש על החלפת משתנים ופישוט האינטגרלים באמצעות לוגריתמים ודיפרנציאלים.
להבין את שיטת ההצבה באינטגרלים מיוחדים
לחשב אינטגרלים הכוללים ביטויים של לוגריתמים
להכיר את הקשר בין דיפרנציאלים של פונקציות ולוגריתמים
לתרגל בקרה על החישובים, כולל שימוש במגזרות במהלך ההצבה
הצגת הבעיה וההנחות: הצגה של החלפת משתנים באינטגרלים, הגדרת הצבה של T כלפי X, והבנת היחס בין הדיפרנציאלים.
חישוב האינטגרל באמצעות הצבה: השימוש באינטגרל פשוט של T DT, חישוב האינטגרל ויצירת תוצאה כוללת עם קבוע האינטגרציה.
בקרת התוצאה: ביצוע בקרה על התוצאה על ידי בחינת הנגזרת של הפונקציה שעליה השתמשנו, הבנת חשיבות הפונקציה המופיעה בתוך הלוגריתם והנגזרת שלה.

תרגול קצר

אינטגרל עם הצבת T=ln(X)

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל \int \frac{\ln(X)}{X} dx באמצעות שיטת ההצבה.

אינטגרליםשיטת הצבהלוגריתמים

רמז: הציב T = ln(X), מהו dT?

פתרון מלא

תשובה סופית: (ln(X))^2/2 + C

כאשר T = ln(X), דיפרנציאל dT = 1/X dx. לכן האינטגרל נהיה \int T dT, שהוא חצי T בריבוע ועוד C. מחזירים את T למשתנה X, והתוצאה היא חצי (ln(X)) בריבוע ועוד C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל עם הצבת T=ln(X)

השימוש בשיטת ההצבה לאינטגרלים עם לוגריתמים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך האינטגרל במונחי X
נתון 1
האינטגרל \int ln(X)/X dx
רעיון
הרעיון המרכזי
להחליף את המשתנה T כ־ln(X), ולחשב אינטגרל פשוט ב־T.
נוסחה
\int T dT = T^2 / 2 + C
T^2/2 + CT^2 / 2 + CT^(2) / 2 + C
משוואה
T = ln(X)
T = ln(X)
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
\frac{(ln X)^2}{2} + C
(ln X)^2/2 + C(ln X)^2 / 2 + C
בדיקה
בדיקה קצרה
- זיהוי נכון של ההצבה T=ln(X)
- הבנה שנגזרת ln(X) היא 1/X
- זהירות: השמטת דיפרנציאל בשלב ההצבה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

האינטגרל המקורי

מה עושים

\int \frac{ln(X)}{X} dx

למה

זו פונקציית האינטגרל שעלינו לחשב

זיהוי נתונים

הגדרת ההצבה

מה עושים

T = ln(X)

למה

הפשטת האינטגרל לפונקציה פשוטה יותר

זיהוי נתונים

דיפרנציאל T

מה עושים

dT = 1/X dx

למה

להחליף את dx במשתנה חדש בהתאם לקשר בין T ל-X

בחירת שיטה

החלפת האינטגרל

מה עושים

\int \frac{ln(X)}{X} dx = \int T dT

למה

אינטגרל פשוט יותר לחישוב עם המשתנה החדש

נוסחה / הצבה

integral of T dT

פתרון

חישוב האינטגרל ב-T

מה עושים

\int T dT = T^2 / 2 + C

למה

אינטגרל של T לפי dT הוא חצי T בריבוע ועוד קבוע אינטגרציה

נוסחה / הצבה

T^2/2 + CT^2 / 2 + CT^(2) / 2 + C

תשובה

החזרת התוצאה ל-X

מה עושים

\frac{(ln X)^2}{2} + C

למה

להביא את התוצאה בחזרה למשתנה המקורי

נוסחה / הצבה

(ln X)^2/2 + C(ln X)^2 / 2 + C(( X)^(2))/(2) + C

פתרונות כלליים

אינטגרל עם הצבת T=ln(X): כאשר T = ln(X), דיפרנציאל dT = 1/X dx. לכן האינטגרל נהיה \int T dT, שהוא חצי T בריבוע ועוד C. מחזירים את T למשתנה X, והתוצאה היא חצי (ln(X)) בריבוע ועוד C.

הפריט הקודם הפריט הבא

א5. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך האינטגרל במונחי X

האינטגרל \int ln(X)/X dx

הרעיון המרכזי

\int T dT = T^2 / 2 + C

T = ln(X)

מפשטים

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

האינטגרל המקורי

הגדרת ההצבה

דיפרנציאל T

החלפת האינטגרל

חישוב האינטגרל ב-T

החזרת התוצאה ל-X

פתרונות כלליים