שיעור זה מלמד איך לפתור אינטגרלים שבהם מוצעים להחליף משתנה באמצעות שיטת ההצבה, כדי לפשט חישובים של אינטגרלים מסובכים, בדגש על קפלים והתאמת הנגזרות המתאימות.
להבין את עיקרון שיטת ההצבה באינטגרלים
לזהות מתי ניתן להיעזר בשיטת ההצבה לפישוט האינטגרל
ללמוד לבצע החלפת משתנה וחשבון נגזרות נכונות
ליישם שיטה זו על אינטגרלים הכוללים פונקציות כמו e בחזקת ביטוי ריבועי
הצגת שיטת ההצבה: שיטת ההצבה מבוססת על החלפת ביטוי מורכב במשתנה חדש, כך שניתן לפשט את צורת האינטגרל.
פישוט האינטגרל דרך החלפת משתנה: החלפת המשתנה מפשטת את האינטגרל שהפך להיות אינטגרל של פונקציה פשוטה מאוד (למשל, אינטגרל של חצי e בחזקת t).

תרגול קצר

חישוב אינטגרל עם החלפת משתנה פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של e בחזקת x בריבוע כפול x dx.

אינטגרליםשיטת ההצבההחלפת משתנהe בחזקת ביטוי ריבועי

רמז: הצע להגדיר משתנה חדש t שווה ל-x בריבוע ושימוש בנגזרת שלו כדי להחליף את הביטויים ב-x.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1/2 e בחזקת x בריבוע + C

כאן נגדיר t = x^2, אז dt = 2x dx, לכן x dx = dt/2. האינטגרל הופך להיות 1/2 אינטגרל של e בחזקת t dt, שאותו קל לחשב: 1/2 e בחזקת t + C = 1/2 e בחזקת x בריבוע + C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון דוגמה: אינטגרל e בחזקת x בריבוע כפול x dx

החלפת משתנה ושימוש בשיטת ההצבה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך האינטגרל
נתון 1
נתון 1
האינטגרל ∫ e בחזקת x^2 כפול x dx
רעיון
הרעיון המרכזי
הגדירו משתנה חדש t = x^2 וכתבו את האינטגרל מחדש באמצעות t ו-dt.
נוסחה
נגזרו את t ביחס ל-x: dt = 2x dx, ולכן x dx = dt / 2.
dt = 2x dxx dx = dt / 2x dx = dt/2x dx = (dt)/(2)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
כתוב את האינטגרל כמחצית האינטגרל של e בחזקת t dt: (1/2) ∫ e^t dt.
כתוב את האינטגרל כמחצית האינטגרל של e בחזקת t dt: (1/2) ∫ e^t dt.
∫ e^x² · x dx = 1/2 ∫ e^t dte^(x^2) * x dx = (1)/(2) e^t dt
תוצאה
מסיימים בתשובה
חשב את האינטגרל החדש: (1/2) e^t + C = (1/2) e^{x^2} + C.
1/2 e^t + C = 1/2 e^x² + C1/2 e^t + C = 1/2 e^(x^2) + C
בדיקה
בדיקה קצרה
- הגדרת המשתנה t במקום הביטוי המורכב
- חישוב הנגזרת dt וניצול המשוואה להחלפת dx
- זהירות: שכחת להחליף את x dx בביטוי dt/2

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

שלב 1: הבנת הנתונים

מה עושים

יש אינטגרל הכולל e בחזקת x בריבוע כפול x dx.

למה

צריך לפשט את האינטגרל כדי לא לחשב אותו ישירות.

∫ e^x² · x dx

בחירת שיטה

שלב 2: הצבה של משתנה חדש

מה עושים

הגדר t שווה ל-x בריבוע: t = x^2.

למה

זה מאפשר להחליף ביטויים במשתנה אחד.

בחרו ביטוי שמופיע גם בבסיס וגם בנגזרת.

בניית משוואה

שלב 3: נגזרת t והחלפת dx

מה עושים

נגזרו את t ביחס ל-x: dt = 2x dx, ולכן x dx = dt / 2.

למה

החלפת x dx ב-dt מפשטת את האינטגרל.

נוסחה / הצבה

dt = 2x dxx dx = dt / 2x dx = dt/2x dx = (dt)/(2)

ודאו להחליף את כל הביטויים במשתנה t ובנגזרתו.

פתרון

שלב 4: החלפת האינטגרל

מה עושים

כתוב את האינטגרל כמחצית האינטגרל של e בחזקת t dt: (1/2) ∫ e^t dt.

למה

אינטגרל זה פשוט וזמין לפתרון ישיר.

נוסחה / הצבה

∫ e^x² · x dx = 1/2 ∫ e^t dte^(x^2) * x dx = (1)/(2) e^t dt

הזזה של מקדמים מחוץ לאינטגרל מותרת.

תשובה

שלב 5: פתרון האינטגרל

מה עושים

חשב את האינטגרל החדש: (1/2) e^t + C = (1/2) e^{x^2} + C.

למה

פתרון האינטגרל פשוט לאחר ההצבה.

האינטגרל של e^t הוא e^t ועוד קבוע.

נוסחה / הצבה

1/2 e^t + C = 1/2 e^x² + C1/2 e^t + C = 1/2 e^(x^2) + C(1)/(2) e^t + C = (1)/(2) e^(x^2) + C

אל תשכחו להחזיר את המשתנה המקורי בסוף.

פתרונות כלליים

חישוב אינטגרל עם החלפת משתנה פשוטה: כאן נגדיר t = x^2, אז dt = 2x dx, לכן x dx = dt/2. האינטגרל הופך להיות 1/2 אינטגרל של e בחזקת t dt, שאותו קל לחשב: 1/2 e בחזקת t + C = 1/2 e בחזקת x בריבוע + C.

הפריט הקודם הפריט הבא

א1. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך האינטגרל

נתון 1

הרעיון המרכזי

נגזרו את t ביחס ל-x: dt = 2x dx, ולכן x dx = dt / 2.

נבנה משוואה

כתוב את האינטגרל כמחצית האינטגרל של e בחזקת t dt: (1/2) ∫ e^t dt.

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

שלב 1: הבנת הנתונים

שלב 2: הצבה של משתנה חדש

שלב 3: נגזרת t והחלפת dx

שלב 4: החלפת האינטגרל

שלב 5: פתרון האינטגרל

פתרונות כלליים