בשיעור זה למדנו כיצד להפשט פונקציות חישוביות המורכבות מחילוק פולינומים, לחקור את תחום ההגדרה שלהן, לגזור ולחשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין הישרים הנתונים באמצעות אינטגרלים.
להבין ולהפשט פונקציות המורכבות מחילוק פולינומים
לחפש את תחום הגדרת הפונקציה
לחשב נגזרת של פונקציה מסוג חילוק פולינומים
לחשב שטחים תחת פונקציה בעזרת אינטגרלים מוגבלים
להשתמש בשיטת הצבה לחישוב אינטגרלים ומציאת נקודות קיצון
הפשטת הפונקציה וחקר תחום ההגדרה: התחלנו בפישוט פונקציית החלוקה על ידי חילוק פולינומים כדי לקבל ביטוי יותר פשוט לחישובים הבאים, וחקרנו את תחום ההגדרה על ידי איתור ערכים שמאפסים את המכנה.
חישוב נגזרת של פונקציה: למדנו לחשב נגזרת של פונקציה המורכבת מחילוק פולינומים, בדגש על שימוש בנוסחת הנגזרת של מנה ובגזירה מדויקת של כל רכיב.
חישוב שטח בעזרת אינטגרלים: חישבנו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין הישרים הנתונים באמצעות אינטגרל מוגבל, לאחר פישוט הביטוי והכנת הפונקציה בצורה נוחה לאינטגרציה.

תרגול קצר

פישוט פונקציה בחילוק פולינומים

רמת קושי: קל

ממתין

פשטו את הביטוי הבא: (x^2 - x + 1) / (2x - 1) על ידי חילוק פולינומים.

חילוק פולינומיםפישוט פונקציות

רמז: החלוקה תוביל לביטוי בצורת ביטוי פולינומי ועוד שבר פשוט.

פתרון מלא

תשובה סופית: חצי x - רבע + (3/4) / (2x - 1)

חילקו את הפולינום x^2 - x + 1 ב- 2x - 1. ראשית, חלקו x^2 ב-2x וקבלו חצי x. הכפילו את חצי x ב-2x - 1 וקבלו x^2 - חצי x. חיסרו את זה מהפולינום המקורי לקבלת שארית של מינוס חצי x + 1. כעת חלקו את שארית זו ב-2x - 1, את מינוס חצי x חלקי 2x תקבלו מינוס רבע. הכפילו את מינוס רבע ב-2x - 1 וקבלו מינוס חצי x + רבע. חיסרו ונותר שארית 3/4. לכן, הביטוי שווה ל- חצי x - רבע + (3/4) / (2x - 1).

חישוב נגזרת פונקציה מפושטת

רמת קושי: בינוני

ממתין

גזור את הפונקציה\nf(x) = חצי x - רבע + (3/4) / (2x - 1)

נגזרתפונקציות מפושטותחילוק פולינומים

רמז: נגזרו כל רכיב בנפרד, זכרו שדיברנו על נגזרת של a חלקי x.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = חצי - (3/2) / (2x - 1)^2

נגזרת של חצי x היא חצי. נגזרת של -רבע היא 0. נגזרת של (3/4)/(2x - 1) היא: -(3/4) כפול נגזרת המכנה (2x - 1) חלקי ריבוע המכנה. נגזרת המכנה היא 2. לכן, הנגזרת היא חצי - (3/4 * 2) / (2x - 1)^2 = חצי - (3/2) / (2x - 1)^2.

חישוב שטח בין גרף לפונקציה לבין הישרים x=-4 ו-x=-3

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x) = (x^2 - x + 1) / (2x - 1) לבין הישרים x = -4 ו- x = -3.

אינטגרליםשטחיםפונקציותחילוק פולינומים

רמז: פשט קודם את הפונקציה, אחר כך חשב את האינטגרל המוגבל בין -4 ל- -3.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח = F(-3) - F(-4) = חישוב מספרי בהתאם לניסוח.

ראשית, פשטנו את הפונקציה ל- f(x) = חצי x - רבע + (3/4) / (2x - 1). האינטגרל של חצי x הוא חצי כפול x^2 חלקי 2 = רבע x^2. האינטגרל של -רבע הוא -רבע x. האינטגרל של (3/4)/(2x - 1) נעשה באמצעות שינוי משתנה: נניח u = 2x - 1, ולכן du = 2 dx. האינטגרל של 1/u הוא לוגריתם טבעי של |u|. לכן, האינטגרל של (3/4)/(2x - 1) dx הוא (3/8) ln |2x - 1|. נחשב F(x) = רבע x^2 - רבע x + (3/8) ln |2x - 1|. נחשב F(-3) - F(-4) במחשבון לקבלת השטח. יש לוודא כי התחום בתחום ההגדרה של הפונקציה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב שטח בין גרף פונקציה לישרים נתונים

איך לחשב אינטגרלים לפונקציה מפושטת

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שטח השטח הכלוא בין הפונקציה לישרים במקטע הנתון
נתון 1
נתון 1
f(x) = (x^2 - x + 1) / (2x - 1)
נתון 2
נתון 2
ישרים x = -4 ו- x = -3
רעיון
הרעיון המרכזי
לפשט את הפונקציה על ידי חילוק פולינומים, ואז לחשב אינטגרל מוגבל במקטע המבוקש.
נוסחה
f(x) = חצי x - רבע + (3/4) / (2x - 1)
f(x) = 0.5 x - 0.25 + 0.75 / (2x - 1)
משוואה
חשב את האינטגרל מ-4- עד 3- עבור הפונקציה.
חשב את האינטגרל מ-4- עד 3- עבור הפונקציה.
∫_-4^(-3) f(x) dx
פישוט
חשב אינטגרלים של כל רכיב לפי משוואות האינטגרל.
חשב אינטגרלים של כל רכיב לפי משוואות האינטגרל.
F(x) = 0.25 x^2 - 0.25 x + 0.375 ln|2x - 1|
תוצאה
מסיימים בתשובה
הפונקציה f(x) נתונה לצד המקטע [-4,-3].

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה ומקטע האינטגרציה

מה עושים

הפונקציה f(x) נתונה לצד המקטע [-4,-3].

למה

יש לחשב שטח מוגבל בין הפונקציה לישרים אלה.

הפונקציה בנויה מחילוק פולינומים והאינטגרציה תתבצע בתחום הנתון.

בחירת שיטה

פישוט הפונקציה

מה עושים

חלק את הפונקציה למבנה פולינומי + שבר פשוט.

למה

פישוט מקל על חישוב האינטגרל.

חישוב חילוק הפולינומים yields ביטוי פשוט יותר.

מומלץ לבצע את החילוק לפי הסדר.

בניית משוואה

כתיבת הפונקציה בצורת ביטוי מפושט

מה עושים

f(x) = חצי x - רבע + (3/4) / (2x - 1)

למה

מכיוון שחישוב אינטגרלים לפונקציה זו פשוט יותר.

פונקציה מפושטת מאפשרת לחשב אינטגרלים בקלות.

נוסחה / הצבה

f(x) = 0.5 x - 0.25 + 0.75 / (2x - 1)

שמרו על סדר וחישוב נכון של כל רכיב.

בניית משוואה

אינטגרל מוגבל של הפונקציה המפושטת

מה עושים

חשב את האינטגרל מ-4- עד 3- עבור הפונקציה.

למה

כדי לקבל את השטח המבוקש.

נציב את הגבולות באינטגרל ונחליף ביטויים

נוסחה / הצבה

∫_-4^(-3) f(x) dx

זכור לבדוק תחום ההגדרה.

פתרון

חשב את פונקציית הפרימיטיבה והעריך

מה עושים

חשב אינטגרלים של כל רכיב לפי משוואות האינטגרל.

למה

לקבל את פונקציית הפרימיטיבה המלאה.

השתמש בשינוי משתנה ללוגריתם לחלק השברית.

נוסחה / הצבה

F(x) = 0.25 x^2 - 0.25 x + 0.375 ln|2x - 1|

בדוק התאמה לערכי התחום ולתוצאה הסופית.

פתרונות כלליים

פישוט פונקציה בחילוק פולינומים: חילקו את הפולינום x^2 - x + 1 ב- 2x - 1. ראשית, חלקו x^2 ב-2x וקבלו חצי x. הכפילו את חצי x ב-2x - 1 וקבלו x^2 - חצי x. חיסרו את זה מהפולינום המקורי לקבלת שארית של מינוס חצי x + 1. כעת חלקו את שארית זו ב-2x - 1, את מינוס חצי x חלקי 2x תקבלו מינוס רבע. הכפילו את מינוס רבע ב-2x - 1 וקבלו מינוס חצי x + רבע. חיסרו ונותר שארית 3/4. לכן, הביטוי שווה ל- חצי x - רבע + (3/4) / (2x - 1).
חישוב נגזרת פונקציה מפושטת: נגזרת של חצי x היא חצי. נגזרת של -רבע היא 0. נגזרת של (3/4)/(2x - 1) היא: -(3/4) כפול נגזרת המכנה (2x - 1) חלקי ריבוע המכנה. נגזרת המכנה היא 2. לכן, הנגזרת היא חצי - (3/4 * 2) / (2x - 1)^2 = חצי - (3/2) / (2x - 1)^2.
חישוב שטח בין גרף לפונקציה לבין הישרים x=-4 ו-x=-3: ראשית, פשטנו את הפונקציה ל- f(x) = חצי x - רבע + (3/4) / (2x - 1). האינטגרל של חצי x הוא חצי כפול x^2 חלקי 2 = רבע x^2. האינטגרל של -רבע הוא -רבע x. האינטגרל של (3/4)/(2x - 1) נעשה באמצעות שינוי משתנה: נניח u = 2x - 1, ולכן du = 2 dx. האינטגרל של 1/u הוא לוגריתם טבעי של |u|. לכן, האינטגרל של (3/4)/(2x - 1) dx הוא (3/8) ln |2x - 1|. נחשב F(x) = רבע x^2 - רבע x + (3/8) ln |2x - 1|. נחשב F(-3) - F(-4) במחשבון לקבלת השטח. יש לוודא כי התחום בתחום ההגדרה של הפונקציה.

הפריט הקודם הפריט הבא

א4. אינטגרלים מיוחדים חילוק פולינומים

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא שטח השטח הכלוא בין הפונקציה לישרים במקטע הנתון

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

f(x) = חצי x - רבע + (3/4) / (2x - 1)

חשב את האינטגרל מ-4- עד 3- עבור הפונקציה.

חשב אינטגרלים של כל רכיב לפי משוואות האינטגרל.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה ומקטע האינטגרציה

פישוט הפונקציה

כתיבת הפונקציה בצורת ביטוי מפושט

אינטגרל מוגבל של הפונקציה המפושטת

חשב את פונקציית הפרימיטיבה והעריך

פתרונות כלליים