השיעור עוסק בפתרון שאלה 4 מתוך שאלון 582 בנושא חקירת פונקציות ונגזרות, כולל מציאת תחומי קימור, נקודות פיתול, זיהוי תחומי עלייה וירידה, אינטגרציה לחישוב שטחים ופתרון משוואות עם פרמטרים.
להבין כיצד למצוא תחומי קימור מגרף של הנגזרת.
לזהות נקודות פיתול בעזרת נגזרת שנייה.
לזהות תחומי עלייה וירידה של פונקציה בעזרת סימן הנגזרת הראשונה.
לחשב פרמטרים במשוואות פונקציה דרך הגזירה והצבה.
להכיר כיצד להגדיר אינטגרלים לחישוב שטח תחום בין פונקציות וצירים.
לשמור על סדר בפיתרון סימני האינטגרל, הגבולות והפונקציות.
א. חקירת תחומי קימור: לימדנו כיצד לזהות תחומי קימור מעלה ומטה מפונקציה נתונה דרושה גרף הנגזרת הראשונה f'. בנוסף הובהר הקשר בין נקודות קיצון בנגזרת לנקודות פיתול בפונקציה המקורית.
ב. ציור גרף הפונקציה f: בהינתן שהגרף של f חותך את ציר ה-y בחלק השלילי, וסימן של הנגזרת ללא שינוי לאורך התחום, צוייר קירוב לקטע מהפונקציה כולל נקודת פיתול.
ג. חישוב פרמטר a באמצעות נגזרת וגרף: הדגמה כיצד לגזור את הפונקציה המורכבת, להציב נקודה ידועה מהגרף, ולמצוא ערך פרמטר a המתאים.

תרגול קצר

זיהוי תחומי קימור של פונקציה מחזקה בנגזרת

רמת קושי: קל

ממתין

נתון גרף של הנגזרת f' של פונקציה f. מצא את תחומי הקימור מעלה ותחומי הקימור מטה של f.

קימורנגזרת ראשונהגרף פונקציה

רמז: כאשר f' יורדת במקטע, הפונקציה f קעורה מטה; כאשר f' עולה, הפונקציה קעורה מעלה.

פתרון מלא

תשובה סופית: x > 1: קעור מעלה; x < 1: קעור מטה.

מזהים בגרף את האינטרוולים בהם f' עולה — תחומי קימור מעלה; באלה בהם f' יורדת — תחומי קימור מטה.

מציאת ערך פרמטר מתוך תנאי על הנגזרת

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה פונקציה f(x) = (x - a) e^{0.5 x^2 - x} . נתון ש־f'(0) = 2. חשב את ערך a.

נגזרתפרמטריםמשוואות

רמז: חשב את הנגזרת f'(x) לפי כלל הנגזרת של מכפלה והצא את הנגזרת הפנימית. הצב x=0 ו- f'(0)=2, פתח את המשוואה ומצא את a.

פתרון מלא

תשובה סופית: a = 1.

הנגזרת היא: f'(x) = e^{0.5 x^2 - x} + (x - a) * e^{0.5 x^2 - x} * (x - 1). הצבת x=0: f'(0) = e^0 + (0 - a)*e^0*(0 -1) = 1 + (-a)*1*(-1) = 1 + a = 2. לכן a=1.

הגדרת אינטגרל לחישוב שטח תחום בין פונקציות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הפונקציה f(x) נתונה על ידי f(x) = (x - 1) e^{0.5 x^2 - x}. חשב את שטח האזור הכלוא בין גרף f לציר ה-x מ-0 ועד 1.

אינטגרליםשטחיםפונקציות מורכבות

רמז: שטח כלוא בין גרפים מוגדר כאינטגרל מ-0 עד 1 של הפונקציה החיובית פחות הפונקציה השלילית. יש להגדיר פונקציה עליונה ותחתונה בהפרש.

פתרון מלא

תשובה סופית: = אינטגרל מ0 עד 1 של (0 - f(x)) dx.

השטח = אינטגרל 0 ל-1 של (0 - f(x)) dx במקרה שזה השטח התחתון, או בהתאם למה שמצוייר. יש לשים לב להפרדה נכונה בין גבולות dx, להימנע מערבוב.

חקירת פונקציה ונגזרות – שאלון 582 שאלה 4

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון גרף נגזרת f'. מצא את תחומי הקימור של הפונקציה f, חשב פרמטר a בפונקציה נתונה, והגדר אינטגרל לחישוב שטח בין גרף הפונקציה לציר ה-x.

בגרותחקירת פונקцияאינטגרלים

רמז: עקוב אחר שלבים: מציאת תחומי קימור בעזרת הגרף, חישוב עם הנגזרת לפי כלל המכפלה, ההצבה הנתונה, והגדרת האינטגרל עם הגבולות הנכונים.

פתרון מלא

תשובה סופית: x<1: קעור מטה; x>1: קעור מעלה; a=1; שטח = אינטגרל מ0 עד 1 של (0-f(x)) dx.

תחומי קימור: x<1 קעור מטה, x>1 קעור מעלה. פרמטר a=1 מחישוב הנגזרת ב-x=0. שטח אינטגרלי מוגדר מ-0 עד 1 של הפונקציה. כל השלבים מתועדים ומוסברים להבטחת ניקוד מלא.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה 4 - חקירת פונקציה, מציאת a וחישוב שטח

שלבי פתרון תרגיל מתמטי מתוך שאלון 582 – 5 יחידות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחומי הקימור של הפונקציה f / ערך הפרמטר a / אינטגרל לחישוב שטח בין הפונקציה לציר ה-x
נתון 1
גרף הנגזרת f'(x) כולל נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה
נתון 2
נתון 2
f'(0) = 2
נתון 3
נתון 3
פונקציה f(x) = (x - a) * e^(0.5 x^2 - x)
רעיון
הרעיון המרכזי
לזהות תחומי קימור מגרף הנגזרת, לגזור את הפונקציה עם הפרמטר, להציב ערכים לחישוב a, ולקבוע אינטגרל
נוסחה
הגדיר את האינטגרל מ-0 עד 1, פונקציה עליונה פחות תחתונה
שטח = אינטגרל מ0 עד 1 של (0 - f(x)) dxשטח = ∫₀¹ (0 - f(x)) dxשטח = _0^1 (0 - f(x)) dx
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
הציב x=0, f'(0)=2 במשוואת הנגזרת ומצא a
הציב x=0, f'(0)=2 במשוואת הנגזרת ומצא a

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

זיהוי תחומי קימור לפי גרף f'

מה עושים

מצאו איפה הנגזרת עולה ויורדת

למה

עולה – קעור מעלה; יורדת – קעור מטה; קיצון בנגזרת הוא נקודת פיתול בפונקציה

מהגרף, תחומים עם f' עולה הם x > 1, ועם f' יורדת הם x < 1

זכור: הנגזרת מורה על כיוון הקימור של הפונקציה.

בחירת שיטה

גזירה וחישוב הפרמטר a

מה עושים

גזור את f(x) לפי כלל הנגזרת של מכפלה והצב x=0, f'(0)=2

למה

להשתמש בתנאי הנתון כדי למצוא את ערך a

f(x)=(x-a)e^{0.5 x^2 - x} => f'(x)= e^{0.5 x^2 - x} + (x - a) * e^{0.5 x^2 - x} * (x -1)

נוסחה / הצבה

f'(x)= e^(0.5 x^2- x)+ (x- a) * e^(0.5 x^2

חשוב לשמור על סדר פעולות נכון וחישוב הנגזרת הפנימית.

פתרון

הצבת ערכים לחישוב a

מה עושים

הציב x=0, f'(0)=2 במשוואת הנגזרת ומצא a

למה

לאפשר פתרון המשוואה עבור a

f'(0) = 1 + a = 2 ⇒ a = 1

e בחזקה 0 שווה ל-1, יש לשים לב לכך.

בחירת שיטה

הגדרת אינטגרל עבור שטח בין גרפים

מה עושים

הגדיר את האינטגרל מ-0 עד 1, פונקציה עליונה פחות תחתונה

למה

שטח כלוא הוא ההפרש בין הפונקציות בתחום המוגדר

שטח = ∫₀¹ [0 - f(x)] dx = ∫₀¹ -f(x) dx

נוסחה / הצבה

שטח = אינטגרל מ0 עד 1 של (0 - f(x)) dxשטח = ∫₀¹ (0 - f(x)) dxשטח = _0^1 (0 - f(x)) dx

כתבו בבירור גבולות אינטגרציה ואת ההפרש.

פתרון

הקפדה על נוהל כתיבת אינטגרל

מה עושים

רשום את האינטגרל בנפרד ללא ערבוב בין הסמלים

למה

הבוחן דורש כתיבה מסודרת לניקוד מלא

עוצרים את חישוב הנגזרת וכתיבת האינטגרל בנפרד לפני ביצוע החישוב המספרי

הימנע משיבוש סימונים בין הגבולות, dx והפונקציות.

פתרונות כלליים

זיהוי תחומי קימור של פונקציה מחזקה בנגזרת: מזהים בגרף את האינטרוולים בהם f' עולה — תחומי קימור מעלה; באלה בהם f' יורדת — תחומי קימור מטה.
מציאת ערך פרמטר מתוך תנאי על הנגזרת: הנגזרת היא: f'(x) = e^{0.5 x^2 - x} + (x - a) * e^{0.5 x^2 - x} * (x - 1). הצבת x=0: f'(0) = e^0 + (0 - a)*e^0*(0 -1) = 1 + (-a)*1*(-1) = 1 + a = 2. לכן a=1.
הגדרת אינטגרל לחישוב שטח תחום בין פונקציות: השטח = אינטגרל 0 ל-1 של (0 - f(x)) dx במקרה שזה השטח התחתון, או בהתאם למה שמצוייר. יש לשים לב להפרדה נכונה בין גבולות dx, להימנע מערבוב.
חקירת פונקציה ונגזרות – שאלון 582 שאלה 4: תחומי קימור: x<1 קעור מטה, x>1 קעור מעלה. פרמטר a=1 מחישוב הנגזרת ב-x=0. שטח אינטגרלי מוגדר מ-0 עד 1 של הפונקציה. כל השלבים מתועדים ומוסברים להבטחת ניקוד מלא.

הפריט הקודם הפריט הבא

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד א

ניווט לפי נושאים

פתרונות של בגרויות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחומי הקימור של הפונקציה f / ערך הפרמטר a / אינטגרל לחישוב שטח בין הפונקציה לציר ה-x

גרף הנגזרת f'(x) כולל נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

הגדיר את האינטגרל מ-0 עד 1, פונקציה עליונה פחות תחתונה

נבנה משוואה

הציב x=0, f'(0)=2 במשוואת הנגזרת ומצא a

פתרון מפורט

זיהוי תחומי קימור לפי גרף f'

גזירה וחישוב הפרמטר a

הצבת ערכים לחישוב a

הגדרת אינטגרל עבור שטח בין גרפים

הקפדה על נוהל כתיבת אינטגרל

פתרונות כלליים