השיעור עוסק בשרטוט והבנת מקום גיאומטרי של מספרים קומפלקסיים במישור גאוס, חישוב גודל (ערך מוחלט) וארגומנט (זווית) של מספרים קומפלקסיים, וכן ניתוח יחס הזוויות בדלתון שנוצר.
הבנת ייצוג מספר קומפלקסי במישור גאוס
חישוב גודל (ערך מוחלט) של מספר קומפלקסי
שרטוט מעגל שמייצג מקום גיאומטרי של מספרים קומפלקסיים
הכרה והבנת מושג הארגומנט של מספר קומפלקסי
חישוב זווית והבנת יחסי זוויות בדלתון שנוצר במישור
ניתוח ומאפיינים גיאומטריים של מספרים קומפלקסיים במישור
הגדרת מספר קומפלקסי ומישור גאוס: הצגת מספר קומפלקסי בצורה X + Yi, והגדרת החלק הממשי והמדומה. הסבר על גודל מספר קומפלקסי כמרחק מראשית הצירים במישור.
שרטוט המקום הגיאומטרי: שרטוט מעגל במישור גאוס עם מרכז בנקודה (-3, שורש 3) ורדיוס שורש 3 שמתאר את המקום הגיאומטרי הנתון.
חישוב זוויות וארגומנטים: ניתוח הזווית בדלתון שנוצר בין נקודות במישור. זיהוי זווית בסיסית של 30 ומחישוב טנגנס הזווית. מציאת הארגומנט של מספר קומפלקסי מורכב.

תרגול קצר

חישוב גודל מספר קומפלקסי

רמת קושי: קל

ממתין

חשבו את הגודל (ערך מוחלט) של המספר הקומפלקסי z = -3 + i√3.

גודלמספרים קומפלקסייםבסיס

רמז: השתמשו בנוסחה של גודל מספר קומפלקסי: שורש סכום הריבועים של החלק הממשי והמדומה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2√3

החלק הממשי הוא -3, החלק המדומה הוא שורש 3. גודל z = sqrt((-3)^2 + (√3)^2) = sqrt(9 + 3) = sqrt(12) = 2√3.

קביעת המקום הגיאומטרי במישור גאוס

רמת קושי: בינוני

ממתין

נסרטט את המעגל שמייצג את המקום הגיאומטרי של כל נקודה z שגודלה הוא 2√3 ומרכזו ב-(-3, √3). מהו הרדיוס ומהו המרכז?

מישור גאוסמעגלמקום גיאומטרי

רמז: הרדיוס הוא הגודל הנתון, המרכז הוא הנקודה הנתונה.

פתרון מלא

תשובה סופית: מרכז: (-3, √3), רדיוס: 2√3

הרדיוס הוא 2√3, המרכז הוא בנקודה (-3, √3). הנוסחה היא המעגל עם מרכז (-3, √3) ורדיוס 2√3.

חישוב ארגומנט של מספר קומפלקסי במישור

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן מספר קומפלקסי z2 הממוקם במקום גאוס עם ארגומנט של 120 מעלות. מהו ערך הארגומנט של הזווית הזו ברדיאנים?

ארגומנטמספרים קומפלקסייםטריגונומטריה

רמז: המרת מעלות לרדיאנים: כפל ב-π וחלוקה ב-180.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2π/3 רדיאנים

זווית של 120 מעלות שווה ל-120 כפול π חלקי 180, כלומר 2π/3 רדיאנים.

ניתוח הזווית החדשה בדלתון במישור גאוס

רמת קושי: בגרות

ממתין

מספר קומפלקסי z2 נמצא על המקום הגיאומטרי שנוצר בדלתון במישור גאוס עם זווית אלפא שמוגדרת בטנגנס שווה ל-√3/3. מצאו את זווית אלפא במעלות.

דלתוןזוויותמספרים קומפלקסיים

רמז: טנגנס 30 מעלות שווה ל-√3/3.

פתרון מלא

תשובה סופית: 30 מעלות

מכיוון שטנגנס α = √3/3, α=30 מעלות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלת שרטוט המקום הגיאומטרי של מספר קומפלקסי

שרטוט מעגל עם מרכז ורדיוס נתונים במישור גאוס

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא לשרטט את המעגל המתאים במישור גאוס / לזהות את המאפיינים הגאומטריים של המעגל
נתון 1
המספר הקומפלקסי z מוצג כ-x + yi במישור גאוס
נתון 2
המרכז של המעגל הוא בנקודה (-3, √3)
נתון 3
הרדיוס של המעגל הוא √3
רעיון
הרעיון המרכזי
נזהה את המרכז והרדיוס ממידע הערך המוחלט, ונשרטט מעגל כפי שהוגדר במישור גאוס.
נוסחה
נסמן z = x + yi ונכתוב את המשוואה
(x+3)^2 + (y - sqrt(3))^2 = 3(x+3)^2 + (y - √3)^2 = (√3)^2(x+3)^2 + (y - 3)^2 = 3
משוואה
הרדיוס של המעגל הוא √3
הרדיוס של המעגל הוא √3
פישוט
כפול ונקבל משוואת מעגל אופיינית
כפול ונקבל משוואת מעגל אופיינית
(x+3)^2 + (y - sqrt(3))^2 = 3(x+3)^2 + (y - √3)^2 = 3

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת המרכז במישור

מה עושים

המרכז הוא בנקודה (-3, √3) לפי הבעיה

למה

משפט המקום הגאומטרי קובע שיש למרכז ערכים נתונים בשאלה

המספר בתוך הערך המוחלט z+3−i√3 מגדיר את המרכז במישור הגאוס כמינוס 3 שורש 3.

זיהוי נתונים

מידע על הרדיוס

מה עושים

הרדיוס של המעגל הוא √3

למה

ערך מוחלט שווה לרדיוס במעגל במישור גאוס

המשוואה |z+3−i√3| = √3 מתארת מעגל במישור עם רדיוס √3

בחירת שיטה

הבנת הקשר בין ערך מוחלט למעגל

מה עושים

ערך מוחלט של ביטוי קומפלקסי מתאר מעגל במישור גאוס

למה

אריתמטיקה של מספרים קומפלקסיים מגדירה ערך מוחלט כמטריצה גאומטרית

המשוואה מציגה את כל המספרים z שהמרחק שלהם מ-(-3, √3) הוא שווה √3

בניית משוואה

ייצוג המשוואה במישור

מה עושים

נסמן z = x + yi ונכתוב את המשוואה

למה

כדי לאפשר שרטוט נפרק את הנתונים לרכיבים ממשיים ומדומים

|z + 3 - i√3| = √3 => √((x+3)^2 + (y - √3)^2) = √3

נוסחה / הצבה

(x+3)^2 + (y - sqrt(3))^2 = 3(x+3)^2 + (y - √3)^2 = (√3)^2(x+3)^2 + (y - 3)^2 = 3

הסירו את הערך המוחלט על ידי ריבוע שני הצדדים כדי לקבל משוואת מעגל.

פתרון

פישוט משוואת המעגל

מה עושים

כפול ונקבל משוואת מעגל אופיינית

למה

פישוט לפורמט נוח לשרטוט

המשוואה מתקבלת: (x+3)^2 + (y - √3)^2 = 3

נוסחה / הצבה

(x+3)^2 + (y - sqrt(3))^2 = 3(x+3)^2 + (y - √3)^2 = 3(x+3)^2 + (y - 3)^2 = 3

תשובה

שרטוט המעגל במישור הגאוס

מה עושים

שרטטו מעגל עם מרכז (-3, √3) ורדיוס √3

למה

זיהוי המקום הגאומטרי המבוקש במישור

קו העיגול מייצג את כל המספרים קומפלקסיים שהמרחק שלהם מהנקודה (-3, √3) הוא √3

השתמשו בסרגל ומד זוויות לא מדויקות אבל מובנות.

פתרונות כלליים

חישוב גודל מספר קומפלקסי: החלק הממשי הוא -3, החלק המדומה הוא שורש 3. גודל z = sqrt((-3)^2 + (√3)^2) = sqrt(9 + 3) = sqrt(12) = 2√3.
קביעת המקום הגיאומטרי במישור גאוס: הרדיוס הוא 2√3, המרכז הוא בנקודה (-3, √3). הנוסחה היא המעגל עם מרכז (-3, √3) ורדיוס 2√3.
חישוב ארגומנט של מספר קומפלקסי במישור: זווית של 120 מעלות שווה ל-120 כפול π חלקי 180, כלומר 2π/3 רדיאנים.
ניתוח הזווית החדשה בדלתון במישור גאוס: מכיוון שטנגנס α = √3/3, α=30 מעלות.

הפריט הקודם הפריט הבא

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד א

ניווט לפי נושאים

פתרונות של בגרויות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא לשרטט את המעגל המתאים במישור גאוס / לזהות את המאפיינים הגאומטריים של המעגל

המספר הקומפלקסי z מוצג כ-x + yi במישור גאוס

המרכז של המעגל הוא בנקודה (-3, √3)

הרדיוס של המעגל הוא √3

הרעיון המרכזי

נסמן z = x + yi ונכתוב את המשוואה

הרדיוס של המעגל הוא √3

כפול ונקבל משוואת מעגל אופיינית

פתרון מפורט

הגדרת המרכז במישור

מידע על הרדיוס

הבנת הקשר בין ערך מוחלט למעגל

ייצוג המשוואה במישור

פישוט משוואת המעגל

שרטוט המעגל במישור הגאוס

פתרונות כלליים