MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · פתרונות של בגרויות

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 חלק א מועד ב

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
10 פריטים קודמים בנושא
וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 חלק א מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 חלק ב מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד ג

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3

סיכום שיעור

  • שיעור זה עוסק בפונקציה מובנת בשאלה 5 מתוך שאלון בגרות 582, חישוב תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם ציר ה-X, חישוב שטח באמצעות אינטגרלים וניתוח נקודת קיצון.
  • למצוא תחום הגדרת פונקציה הכוללת לוגריתם ומכנה שונה מאפס
  • לחשב נקודות חיתוך של פונקציה עם ציר ה-X
  • להבין כיצד לגזור ולחשב אינטגרלים של פונקציות ממעלה מורכבת
  • לנתח נקודות קיצון והגדרות של סימני הפונקציה והנגזרת שלה
  • להשתמש בכלים אנליטיים כדי לחשב שטח תחום מוגבל תחת גרף פונקציה
  • תחום הגדרה של פונקציה עם מכנה ולוגריתם: תחום ההגדרה נקבע על ידי איסור מחלק בשבר להיות אפס ועל ידי תנאי חיוביות לתוכן הלוגריתם.
  • חיתוך פונקציה עם ציר ה-X: כדי למצוא נקודות חיתוך יש להציב y=0 ולפתור את המשוואה שמתקבלת.
  • אינטגרל לחישוב שטח: השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, ציר ה-X והקווים x=A ו-x=E פחות אחד חלקי שלוש.
  • נקודת קיצון וניתוח סימנים: קיימת נקודת קיצון אחת שנמצאת באיקס מסוים ומאפיינים שליליות הפונקציה והנגזרת

תרגול קצר

מציאת תחום הגדרת פונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה y = 3 - 9 ln((3x + 1)/3).

תחום-הגדרהלוגריתםפונקציות

רמז: זכרו שהמכנה צריך להיות שונה מאפס והתוכן של הלוגריתם חייב להיות חיובי.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: x > -1/3

המכנה 3x+1 ≠ 0 כלומר x ≠ -1/3. בנוסף, (3x + 1)/3 > 0 אזי 3x + 1 > 0 כלומר x > -1/3. לכן תחום ההגדרה הוא x > -1/3.

מציאת נקודת חיתוך עם ציר ה-X

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה y=3 - 9 ln((3x + 1)/3) עם ציר ה-X.

חיתוך-עם-ציר-xלוגריתם

רמז: הציב y=0 ופתור עבור x, תוך שימוש בנוסחאות לוגריתמיות בסיסיות.

פתרון מלא

תשובה סופית: x ≈ 0.1318

שווים 0=3 - 9 ln((3x + 1)/3) => 9 ln((3x + 1)/3) = 3 => ln((3x + 1)/3) = 1/3 => (3x + 1)/3 = e^{1/3} => 3x + 1 = 3 e^{1/3} => 3x = 3 e^{1/3} - 1 => x = (3 e^{1/3} - 1)/3 = e^{1/3} - 1/3 ≈ 0.1318

חישוב שטח תחום על ידי אינטגרל ופתרון עד לנקודה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה y=3 - 9 ln((3x + 1)/3), ציר ה-X, ומאיקס x=E^{-1/3} ועד x=A עבור A > E^{-1/3}, כאשר השטח משוער ל-3.5.

אינטגרליםשטחיםגזירה מתקדמת

רמז: השתמש בגזירת הפונקציה כדי לפשט את האינטגרל. ניתן לגזור ולפתור משוואה שתיתן את ערך A.

פתרון מלא

תשובה סופית: A מחושב כך שהשטח בין E^{-1/3} ל-A מתקרב ל-3.5

מוסבר כי גוזרים את הפונקציה ופשוטים את האינטגרל הנדרש. לאחר מכן מוצאים את A שעבורו השטח שווה ל-3.5. משתמשים בנוסחאות דיפרנציאליות לוגיות ובודקים זאת במספרים עשרוניים במחשבון.

ניתוח נקודת קיצון

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה פונקציה f(x) ויש נקודת קיצון ב-x=i בה f' ו-f הן שליליות. מצא את התחום שבו זה מתקיים, בהתחשב באיקסים שניתנו.

נקודת-קיצוןסימניםאנליזה

רמז: שימוש באי שוויון לניתוח סימני הפונקציה והנגזרת יחד. מומלץ להמיר ערכים למספרים עשרוניים.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום שבו f ו-f' שליליות הוא בין 0.1318 לערכים גבוהים יותר בתחום ההגדרה.

נקודת הקיצון נמצאת ב-x ≈ 0.1318. הפונקציה והנגזרת שליליות במקביל בתחום בין x=0.1318 לבין ערכים גדולים יותר. תחום זה נקבע לפי תנאי אי השוויון המתוארים בשיעור.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חיתוך פונקציה עם ציר ה-X

מציאת נקודת החיתוך של הפונקציה y=3 - 9 ln((3x + 1)/3) עם ציר ה-X

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך x מתאים לחיתוך עם ציר ה-X

  2. נתון 1

    נתון 1

    פונקציה y=3 - 9 ln((3x + 1)/3)
  3. נתון 2

    נתון 2

    תחום ההגדרה x > -1/3
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נציב y=0 ונבודד את x באמצעות פתרון משוואה לוגריתמית.

  5. נוסחה

    מחלקים ב-9, מוציאים e בחזקה, מפשטים.

    x = e^(1/3) - 1/3x = e^(1/3) - (1)/(3)x = e^((1)/(3)) - (1)/(3)
  6. משוואה

    מעבירים אגפים ומשווים.

    מעבירים אגפים ומשווים.

  7. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    מחושב x ≈ 0.1318

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הפונקציה והתחום

מה עושים

יודעים את הפונקציה y והגבלה על x domain.

למה

תחום ההגדרה הכרחי לחישובים תקפים.

y=3 - 9 ln((3x + 1)/3), x > -1/3

2

בחירת שיטה

נצל y=0

מה עושים

מציבים y=0 במשוואה ומבודדים ln.

למה

נקודת חיתוך מוגדרת כאשר y=0.

0=3 - 9 ln((3x + 1)/3)

3

בניית משוואה

בודדים את הלוגריתם

מה עושים

מעבירים אגפים ומשווים.

למה

נדרש לבודד ln((3x + 1)/3) כדי לפתור עבור x.

9 ln((3x + 1)/3) = 3

4

פתרון

מפשטים ומבודדים x

מה עושים

מחלקים ב-9, מוציאים e בחזקה, מפשטים.

למה

כדי לקבל ביטוי מפורש ל-x.

ln((3x + 1)/3) = 1/3 => (3x + 1)/3 = e^{1/3} => 3x + 1 = 3 e^{1/3} => x = e^{1/3} - 1/3

נוסחה / הצבה

x = e^(1/3) - 1/3x = e^(1/3) - (1)/(3)x = e^((1)/(3)) - (1)/(3)

היזהרו בהצבה ללוגריתם, זכרו את חוקי החזקות.

5

תשובה

ערך נקודת החיתוך

מה עושים

מחושב x ≈ 0.1318

למה

זה נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-X בתחום ההגדרה.

x ≈ 0.1318

פתרונות כלליים

  • מציאת תחום הגדרת פונקציה: המכנה 3x+1 ≠ 0 כלומר x ≠ -1/3. בנוסף, (3x + 1)/3 > 0 אזי 3x + 1 > 0 כלומר x > -1/3. לכן תחום ההגדרה הוא x > -1/3.
  • מציאת נקודת חיתוך עם ציר ה-X: שווים 0=3 - 9 ln((3x + 1)/3) => 9 ln((3x + 1)/3) = 3 => ln((3x + 1)/3) = 1/3 => (3x + 1)/3 = e^{1/3} => 3x + 1 = 3 e^{1/3} => 3x = 3 e^{1/3} - 1 => x = (3 e^{1/3} - 1)/3 = e^{1/3} - 1/3 ≈ 0.1318
  • חישוב שטח תחום על ידי אינטגרל ופתרון עד לנקודה: מוסבר כי גוזרים את הפונקציה ופשוטים את האינטגרל הנדרש. לאחר מכן מוצאים את A שעבורו השטח שווה ל-3.5. משתמשים בנוסחאות דיפרנציאליות לוגיות ובודקים זאת במספרים עשרוניים במחשבון.
  • ניתוח נקודת קיצון: נקודת הקיצון נמצאת ב-x ≈ 0.1318. הפונקציה והנגזרת שליליות במקביל בתחום בין x=0.1318 לבין ערכים גדולים יותר. תחום זה נקבע לפי תנאי אי השוויון המתוארים בשיעור.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.