MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · הנדסה אנליטית

ז10. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל עם אמצע מיתר

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
43 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ז6. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז7. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז8. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל

וידאו

ז9. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל עם אמצע מיתר

וידאו

ז10. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל עם אמצע מיתר

וידאו

ז11. אנליטית הפרבולה פתרון תרגיל עם אמצע מיתר

וידאו

ח1. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח2. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח3. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח4. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח5. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח6. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח7. מקומות גיאומטריים

וידאו

ח8. מקומות גיאומטריים

סיכום שיעור

  • שיעור זה עוסק בפתרון משוואת פרבולה נתונה על ידי פרמטר P, כאשר נתון אמצע המיתר ונקודות נוספות. השיעור מדגים כיצד לנצל נקודות אמצע, שיפועים ותכונות הפרבולה כדי למצוא את משוואת הפרבולה בצורה יעילה תוך התמקדות בפרמטר החיוני בלבד.
  • להבין כיצד לנצל נקודות באמצע מיתר בפרבולה לאיתור משוואה
  • לשייך בין ערכי נקודות לייצוגים נעלמים במשוואה
  • לפתור מערכת משוואות המכילה נעלמים חלקיים בדרך חכמה
  • להשתמש במושג שיפוע בנקודות על הפרבולה לצורך הפחתת נעלמים
  • לחלץ את הפרמטר P במשוואת פרבולה
  • להפוך משוואות גיאומטריות למערכת אלגברית לפתרון
  • הגדרת הבעיה והנתונים: מתוארת הפרבולה y בריבוע שווה 2PX, ומוצגות נקודות A, B ומרכז המיתר M עם נתון אורך אמצע המיתר.
  • ייצוג נקודות עם נעלמים: נבחרות נקודות T ו-K כהקשרים נעלמים המשמשים לייצוג קוי המיתר בפרבולה, נכתבות המשוואות המתארות את הקשר ביניהם לבין P.
  • הפחתת נעלמים וחישוב הפרמטר P: יצירת משוואות מחברות ביניהם, שימוש בתכונת אמצע המיתר, ושימוש בשיפועים בין נקודות כדי ליצור משוואה יחידה ל-P.

תרגול קצר

מצא את משוואת הפרבולה הנתונה מיתר ואמצע המיתר

רמת קושי: קל

ממתין

פרבולה מוגדרת על ידי המשוואה y בריבוע שווה 2Px. נתון שמיתר עובר במוקד (0,0), ואמצע המיתר הוא 6.4. מצא את ערך הפרמטר P ומשוואת הפרבולה.

פרבולההנדסה אנליטיתמיתרשיפועמשוואת פרבולה

רמז: השתמש בנקודות T ו-K כדי לייצג נקודות קצה של המיתר והשתמש בתכונת אמצע המיתר. פתח משוואות והשתמש בכלל השיפועים כדי למצוא משוואה אחת עם נעלם P בלבד.

פתרון מלא

תשובה סופית: P שווה 4 או 8. משוואת הפרבולה היא y בריבוע שווה 8x או y בריבוע שווה 16x.

נסמן נקודות קצה המיתר T וק, כך ש-(T + K)/2 = 6.4. משוואת הפרבולה היא y^2=2Px ועל כל נקודה y = x^2/(2P). ניצור משוואה מחבר בין הערכים ונשתמש בשיפוע ביניהם. לאחר פישוט נקבל משוואה ריבועית ב-P, שתפתור ל-P=4 או P=8. ניתן לבחור את הפתרון המתאים בהקשר הבעיה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל מציאת משוואת פרבולה מאמצע מיתר

פתרון בעזרת נקודות אמצע ומושג השיפוע

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא פרמטר P / משוואת הפרבולה

  2. נתון 1

    משוואת הפרבולה y בריבוע שווה 2Px

  3. נתון 2

    מיתר עובר בנקודות T ו-K

  4. נתון 3

    אמצע המיתר הוא 6.4

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    ניצור משוואות על בסיס נתוני האמצע והשיפועים בין נקודות נעלמות, ונפשט כדי למצוא P.

  6. נוסחה

    נשתמש בנתון שאמצע המיתר נמצא ב-6.4 על ציר ה-X.

    (T + K) / 2 = 6.4
  7. משוואה

    נשתמש בכך שלכל נקודה: y שווה x בריבוע חלקי 2P.

    נשתמש בכך שלכל נקודה: y שווה x בריבוע חלקי 2P.

    y = X^2 / (2P)
  8. פישוט

    אבדה המשוואות מסנכרנת את המשתנים ומפשטת למשוואה ריבועית ב-P בלבד.

    אבדה המשוואות מסנכרנת את המשתנים ומפשטת למשוואה ריבועית ב-P בלבד.

    0.5 P^2 - 6 P + 16 = 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

זיהוי נקודות קצה למיתר

מה עושים

נסמן את נקודות המיתר כנקודות T ו-K על הציר.

למה

צריך לייצג מיקום קצה המיתר בשינויי X ו-Y כדי לבנות משוואות.

נקודות T ו-K עם ערכי X ו-Y נעלמים על הפרבולה שווים ל-T ונוסחת הפרבולה.

השתמש בייצוג נקודות למעבר לפתרון אלגברי.

2

בניית משוואה

נוסחת אמצע המיתר

מה עושים

נשתמש בנתון שאמצע המיתר נמצא ב-6.4 על ציר ה-X.

למה

המשוואה (T + K) חלקי 2 שווה ל-6.4.

כתיבת משוואת האמצע: (T + K)/2 = 6.4.

נוסחה / הצבה

(T + K) / 2 = 6.4

הרבה נתונים גאומטריים ניתן לתרגם למשוואות אלגבריות פשוטות.

3

בניית משוואה

חיבור משוואות y מנוסחת הפרבולה

מה עושים

נשתמש בכך שלכל נקודה: y שווה x בריבוע חלקי 2P.

למה

הפרבולה מוגדרת במשוואה זו והנקודות חייבות להתאים לה.

y של T ושווה ל T בריבוע חלקי 2P, y של K שווה ל K בריבוע חלקי 2P.

נוסחה / הצבה

y = X^2 / (2P)

קשר אותו בין הנעלמים במשוואות.

4

בחירת שיטה

חישוב שיפוע בין נקודות המיתר

מה עושים

נחשב את השיפוע בין נקודות T ו-K בדרכים שונות כדי לקבל משוואה נוספת.

למה

השיפוע שווה להפרש ה-y חלקי הפרש ה-x, מנצל נקודות על הפרבולה.

נגדיר את השיפוע ונבנה משוואה שתגדיר קשר בין T, K, ו-P.

נוסחה / הצבה

slope = (y_T - y_K)/(T - K)

שיפועים משמשים להפחתת נעלמים.

5

פתרון

פתרון משוואות וחילוץ P

מה עושים

אבדה המשוואות מסנכרנת את המשתנים ומפשטת למשוואה ריבועית ב-P בלבד.

למה

רק P נדרש במשוואת הפרבולה, לכן נחפש ביטוי יחיד של P.

משוואה ריבועית של חצי P בריבוע מינוס 6P ועוד 16 שווה ל-0.

נוסחה / הצבה

0.5 P^2 - 6 P + 16 = 0

פתור משוואה ריבועית לקבלת פתרונות P.

6

תשובה

קבלת פתרונות למשוואת הפרבולה

מה עושים

פתירת המשוואה הריבועית לקבלת ערכי P האפשריים.

למה

P=4 או P=8 מספקים משוואת פרבולה תקפה.

משוואות הפרבולה הן y בריבוע שווה 8x או y בריבוע שווה 16x.

בחירת פתרון הסופי תלויה בהקשר הבעיה.

פתרונות כלליים

  • מצא את משוואת הפרבולה הנתונה מיתר ואמצע המיתר: נסמן נקודות קצה המיתר T וק, כך ש-(T + K)/2 = 6.4. משוואת הפרבולה היא y^2=2Px ועל כל נקודה y = x^2/(2P). ניצור משוואה מחבר בין הערכים ונשתמש בשיפוע ביניהם. לאחר פישוט נקבל משוואה ריבועית ב-P, שתפתור ל-P=4 או P=8. ניתן לבחור את הפתרון המתאים בהקשר הבעיה.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.