שיעור בנושא מקומות גיאומטריים בהנדסה אנליטית, המתמקד במעגל ובהעברת ישרים מקבילים וניצבים בצירים, ומציאת משוואות קשר בין הנקודות והישרים דרך הצבת נקודות על העקום ומשוואה יוצרת.
להבין הגדרה של מעגל ומשוואתו.
לבטא נקודות על המעגל ומשיקים אליו.
לזהות ישרים מקבילים וניצבים ולהעבירם דרך נקודות מסוימות.
לנקוט בשיטת יצירת משוואות להעמקת הקשר בין נקודות וישרים.
להשתמש במשוואה יוצרת כדי לקשר בין משתנים ולהיראות צורות מוסכמות כמו אליפסה.
הגדרת המעגל ועבודת הישרים: הגדרת המעגל עם משוואה ריבועית, מעבר ישרים מקבילים וניצבים בצירים, והגדרת נקודות a, b, c ו-d לאורך הישרים.
משוואה יוצרת ומשוואות הישרים: מציאתם של משוואות הישרים l1 ו-l2 באמצעות פרמטרים המשתנים t ו-k, וביטוי המשוואה היוצרת המאפשרת לקשר בין x ל-y.
הסקה על האליפסה וסיכום: מהמשוואות המתקבלות ניתן להבין שיש אליפסה המתקבלת כשמתארים את הקשר בין x ו-y בתוך ההתמרות הנדרשות.

תרגול קצר

מציאת המשוואה היוצרת

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מעגל במשוואה x² + y² = r². נקודה a נמצאת על המעגל. מעבירים ישר מאונך מציר x לחתוך בנקודה b. חישב/י את המשוואה היוצרת בקשר בין x ל-y ללא המשתנים t ו-k.

מעגלמשוואה יוצרתפרמטרים

רמז: השתמש/י בהצבת המשוואה היוצרת וביטוי פרמטרים t ו-k באמצעות x ו-y.

פתרון מלא

תשובה סופית: (x²)/4 + y² = r²

נתחיל ממציאת הביטויים של t ו-k כפונקציות של x ו-y. מכיוון ש-y = (k/t)(x - t), ומתוך משוואות הישרים, לאחר ביטול פרמטרים, מקבלים t = x/2 ו-k = y. מכאן משוואת המקור t² + k² = r² מומרת ל (x²)/4 + y² = r². מפשטים בהתאם.

הצגת הישרים ונקודת החיתוך

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתון מעגל x² + y² = r² ונקודה a על המעגל. מעבירים ישר מקביל ל-ao דרך נקודה b שעל ציר ה-x. מצא/י את נקודת החיתוך של הישר l1 עם קו oc וקבע/י את משוואת הישר.

מעגלישרים מקביליםחיתוך

רמז: השתמש/י בשיפוע על פי k/t ובהצבת נקודת החיתוך דרך המשוואה של l1.

פתרון מלא

תשובה סופית: נסמן את נקודת החיתוך d = (0, k). משוואת הישר l1: y = (k/t)(x - t) + y1

משוואת l1 היא y - y1 = (k/t)(x - t) עם y1, t כפונקציות של x ו-y. חישוב נקודת החיתוך עם oc (ציר y) מתקבל כאשר x=0, מפה מחשבים y ומשווים כדי לקבל נקודת החיתוך. משוואת הישר מתקבלת עם השיפוע ונתון נקודה b.

הוכחה שאליפסה מתקבלת מהקשר בין x ו-y

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן המעגל ומשוואות הישרים עם הפרמטרים t ו-k, הוכח/י שהמשוואה החלקית מתקבלת לצורת אליפסה עם משוואה (x²)/16 + (y²)/16 = 1.

אליפסהמשוואה יוצרתהנדסה אנליטית

רמז: החלף את t ו-k בביטויים של x ו-y, והצג את המשוואה בצורה סטנדרטית של אליפסה.

פתרון מלא

תשובה סופית: (x²)/16 + (y²)/16 = 1

נתחיל מt = x/2 ו-k = y. נציב במשוואה היוצרת t² + k² = r². מקבלים (x²)/4 + y² = r². אם r = 4, נקבל (x²)/16 + (y²)/16 =1, שהיא משוואה סטנדרטית של אליפסה.

קשר בין נקודות הישרים במעגל

רמת קושי: בגרות

ממתין

במעגל מרכז קואורדינטות, נקודה a על המעגל ומנקודה זו מעבירים ישר מאונך לציר x שנחתך בנקודה b. דרך b מעבירים ישר מקביל ל-ao כאשר ao הוא קטע המחבר את ראשית הצירים לנקודה a. כתבו את משוואות הישרים l1 ו-l2 וקשרו בין x ל-y באמצעות הפרמטרים t ו-k.

מעגלישריםפרמטרים

רמז: השתמשו במשוואה יוצרת t² + k² = r² ונסו לבצע החלפות של t ו-k בביטויים תלויי x ו-y.

פתרון מלא

תשובה סופית: (x²)/4 + y² = r²

משוואות הישרים נכתבות כך: l1: y - y1 = (k/t)(x - t) l2: y = (k/t) x. בהצבה ובחישוב, נמצא שהפרמטרים מתבטאים כ-t = x/2 ו-k = y, ובהצבתם במשוואה היוצרת נקבל את הקשר בין x ו-y.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לתרגיל מציאת המשוואה היוצרת

הצגת השלבים למציאת הקשר בין x ל-y

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא משוואה או קשר בין x ל-y ללא t ו-k
נתון 1
x בריבוע ועוד y בריבוע שווה r בריבוע
נתון 2
נקודה a נמצאת על המעגל
נתון 3
נתון 3
ישר מאונך לציר x מעובר מ-nנקודה a
רעיון
הרעיון המרכזי
להבין את הפרמטרים t ו-k הקשורים לנקודות ולישרים, לבטאם כפונקציות של x ו-y, ולהציב במשוואה היוצרת
נוסחה
בטא את הפרמטרים t ו-k בביטויים של x ו-y.
t = x / 2k = y
משוואה
נתון מעגל במשוואה x² + y² = r² ונקודה a על המעגל.
נתון מעגל במשוואה x² + y² = r² ונקודה a על המעגל.
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדר נתונים ראשוניים

מה עושים

נתון מעגל במשוואה x² + y² = r² ונקודה a על המעגל.

למה

המשוואה והנקודה מהווים בסיס לקריאת הנתונים ולבניית המערכת המשוואתית.

המשוואה מגדירה את המעגל, נקודה a עליו ומקצת הקווים שיוצאים ממנו.

שמרו את נתוני הרדיוס והנקודה מעודכנים.

בחירת שיטה

הגדרת הישרים

מה עושים

כתב משוואות ל-l1 ו-l2 כפונקציות של t ו-k עם שיפועים תלויים בפרמטרים.

למה

הישרים מתרכזים סביב הנקודה b שעל ציר x לשם יצירת הקשר.

משוואות הישרים יוכלו להתחבר באמצעות הפרמטרים לכדי משוואות אלה.

נוסחה / הצבה

y - y1 = (k/t)(x - t)y = (k/t) xl1: y - y1 = (k/t)(x - t)l2: y = (k/t) xl1: y - y_1 = (k)/(t)(x - t)

הקפד להגדיר נכון את נקודת ההתחלה ושיפוע הישרים.

פתרון

חילוץ t ו-k

מה עושים

בטא את הפרמטרים t ו-k בביטויים של x ו-y.

למה

על מנת לייצר משוואה ללא הפרמטרים החיצוניים ולאפשר הצבה במשוואה היוצרת.

מצאנו כי t = x/2 ו-k = yׂ.

נוסחה / הצבה

t = x / 2k = y

בדקו שוב את השלבים וההתאמות בפרמטרים.

בניית משוואה

הצבת החילוצים במשוואה היוצרת

מה עושים

נכנס את הערכים t ו-k במשוואה t² + k² = r².

למה

כדי לקבל משוואה עם משתנים x ו-y בלבד על המעגל.

t² + k² = r² הופך ל (x²)/4 + y² = r².

נוסחה / הצבה

(x^2)/4 + y^2 = r^2

שים לב לשמירה על הסימונים המדויקים בריבועים ובשברים.

תשובה

קבלת משוואת הקשר

מה עושים

משוואת הקשר היא (x²)/4 + y² = r², לפיה ניתן לעבוד גם עם ערכים מספריים.

למה

כמהלך מסכם פתרנו את הקשר בין x ל-y ללא פרמטרים שיתופיים.

זה מגוון בהתייחסות לצורות אליפטיות שיתקבלו על פי השינוי במערכת.

ניתן להמיר לצורת אליפסה בהמשך בהתאם לערכים.

פתרונות כלליים

מציאת המשוואה היוצרת: נתחיל ממציאת הביטויים של t ו-k כפונקציות של x ו-y. מכיוון ש-y = (k/t)(x - t), ומתוך משוואות הישרים, לאחר ביטול פרמטרים, מקבלים t = x/2 ו-k = y. מכאן משוואת המקור t² + k² = r² מומרת ל (x²)/4 + y² = r². מפשטים בהתאם.
הצגת הישרים ונקודת החיתוך: משוואת l1 היא y - y1 = (k/t)(x - t) עם y1, t כפונקציות של x ו-y. חישוב נקודת החיתוך עם oc (ציר y) מתקבל כאשר x=0, מפה מחשבים y ומשווים כדי לקבל נקודת החיתוך. משוואת הישר מתקבלת עם השיפוע ונתון נקודה b.
הוכחה שאליפסה מתקבלת מהקשר בין x ו-y: נתחיל מt = x/2 ו-k = y. נציב במשוואה היוצרת t² + k² = r². מקבלים (x²)/4 + y² = r². אם r = 4, נקבל (x²)/16 + (y²)/16 =1, שהיא משוואה סטנדרטית של אליפסה.
קשר בין נקודות הישרים במעגל: משוואות הישרים נכתבות כך: l1: y - y1 = (k/t)(x - t) l2: y = (k/t) x. בהצבה ובחישוב, נמצא שהפרמטרים מתבטאים כ-t = x/2 ו-k = y, ובהצבתם במשוואה היוצרת נקבל את הקשר בין x ו-y.

הפריט הקודם הפריט הבא

ח8. מקומות גיאומטריים

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא משוואה או קשר בין x ל-y ללא t ו-k

x בריבוע ועוד y בריבוע שווה r בריבוע

נקודה a נמצאת על המעגל

נתון 3

הרעיון המרכזי

בטא את הפרמטרים t ו-k בביטויים של x ו-y.

נתון מעגל במשוואה x² + y² = r² ונקודה a על המעגל.

מפשטים

פתרון מפורט

הגדר נתונים ראשוניים

הגדרת הישרים

חילוץ t ו-k

הצבת החילוצים במשוואה היוצרת

קבלת משוואת הקשר

פתרונות כלליים