וידאו · הנדסה אנליטית
ח17. מקומות גיאומטריים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור בנושא מקומות גיאומטריים בהנדסה אנליטית, המראה כיצד מעבירים תלות בין משתנים לתחום של נקודות על אליפסה.
- להבין הגדרת מקומות גיאומטריים באמצעות ישרים עם אורכים משתנים
- להגדיר קשר בין משתנים ולהסיר משתנים עזר כמו T ו-K מהמשוואה
- להסיק כי המקום הגיאומטרי במקרה זה הוא אליפסה לגבולות הכיוונים שניתנו
- הקדמה והגדרת הבעיה: הצגה של שתי נקודות עם וקטורים לא שווים באורכם והגדרת הקשר בין אורכיהם שמכפלתם שווה 4 בריבוע.
- יצירת משוואה יוצרת: מביאים לידי ביטוי את המכפלה של אורכי המג ב-T ו-K, ויוצרים משוואה שמכילה משתנים אלו ללא תלות ב-T ו-K.
- הסקת תוצאה - אליפסה: לאחר סידור ושבר משוואות, המשוואה הסופית מתאפיינת כאליפסה, כשמוגבלים לרבעים הרלוונטיים בגלל כיווני הווקטורים.
תרגול קצר
הבנת גישת המקום הגיאומטרי במכפלת אורכים
רמת קושי: קל
בהינתן שתי נקודות עם אורכים המשתנים כך שמכפלתם שווה 16, פרט מהו המקום הגיאומטרי של נקודת החיתוך של שתי הישרים.
רמז: השתמש במשוואה יוצרת כדי לקשר בין המשתנים T ו-K, ונסח ביטוי ב-X ו-Y בלבד.
פתרון מלא
תשובה סופית: הנקודות שיכולות להיווצר הן על אליפסה שמוגדרת במשוואה: (X^2 / A^2) + (Y^2 / B^2) = 1
מכפלת האורכים נקבעת ל-16, T*K=16. לאחר ביטול T ו-K מתוך המשוואה וקישור ל-X ו-Y, מתקבלת המשוואה של אליפסה (X^2/A^2)+(Y^2/B^2)=1, שזה המקום הגיאומטרי המבוקש.
דרך הפתרון
מקום גיאומטרי במכפלת אורכים קבועה
פתרון בעזרת משוואה יוצרת והסרת משתנים עזר
מפת פתרון
- מטרה
למצוא המקום הגיאומטרי כקשר בין X ל-Y בלבד
- נתון 1
נקודות F ו-F' עם וקטורים באורכים משתנים T ו-K
- נתון 2
מכפלת האורכים T*K שווה 16
- נתון 3
משוואה יוצרת עם משתנים X, Y, T ו-K
- רעיון
הרעיון המרכזי
להסיר את המשתנים T ו-K מהמשוואה היצירתית ולהביע את הקשר רק ב-X ו-Y.
- נוסחה
כתבו את המשוואה T כפול K שווה 16.
T * K = 16T x K = 16 - משוואה
החליפו את T ו-K במשוואת המכפלה המקורית בהתאם לביטויים החדשים.
החליפו את T ו-K במשוואת המכפלה המקורית בהתאם לביטויים החדשים.
- פישוט
פשטו את המשוואה וארגנו לגורמים סטנדרטיים של אליפסה.
פשטו את המשוואה וארגנו לגורמים סטנדרטיים של אליפסה.
(X^2 / A^2) + (Y^2 / B^2) = 1(X^2)/(A^2) + (Y^2)/(B^2) = 1
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתונה משוואת המכפלה
זיהוי נתונים
נתונה משוואת המכפלה
מה עושים
כתבו את המשוואה T כפול K שווה 16.
למה
זו ההגדרה של המקום הגיאומטרי שניתן.
T * K = 16
נוסחה / הצבה
T * K = 16T x K = 16משוואה זו מציינת את תנאי המכפלה של אורכי המג.
2בחירת שיטה
קשר בין אורכים ל-X ו-Y
בחירת שיטה
קשר בין אורכים ל-X ו-Y
מה עושים
הביעו את T ו-K כמשתנים תלויים ב-X ו-Y בהתאם לוקטורים נתונים.
למה
כדי לבטא את משתני העזר בעזרת נקודת החיתוך.
בטלו T ו-K לטובת ביטוי ב-X ו-Y עם קבועים A ו-B.
בחירת אקסיומים לקשר בין והוקטורים יאפשר ביטוי מדויק יותר.
3בניית משוואה
הכנסת הביטויים למשוואה
בניית משוואה
הכנסת הביטויים למשוואה
מה עושים
החליפו את T ו-K במשוואת המכפלה המקורית בהתאם לביטויים החדשים.
למה
כדי לקבל משוואה שמכילה רק את X ו-Y.
המשוואה מתארת את הקשר המתמטי בלי T ו-K.
הקפידו להחליף נכון את הביטויים ולפשט.
4פתרון
פישוט המשוואה
פתרון
פישוט המשוואה
מה עושים
פשטו את המשוואה וארגנו לגורמים סטנדרטיים של אליפסה.
למה
כדי לקבל משוואה ברורה של המקום הגיאומטרי.
המשוואה הסופית היא (X^2 / A^2) + (Y^2 / B^2) = 1.
נוסחה / הצבה
(X^2 / A^2) + (Y^2 / B^2) = 1(X^2)/(A^2) + (Y^2)/(B^2) = 1זוהי המשוואה הסטנדרטית של אליפסה.
5תשובה
הסקת המקום הגיאומטרי
תשובה
הסקת המקום הגיאומטרי
מה עושים
הסיקו שהנקודות שמקיימות את המשוואה נמצאות על אליפסה.
למה
זו התוצאה של המכפלה הקבועה והכיוונים הנתונים.
המקום הגיאומטרי הוא אליפסה ברביעים הרלוונטיים בלבד.
יש לזכור את הגבלת הכיוונים לחדד את ההבנה.
פתרונות כלליים
- הבנת גישת המקום הגיאומטרי במכפלת אורכים: מכפלת האורכים נקבעת ל-16, T*K=16. לאחר ביטול T ו-K מתוך המשוואה וקישור ל-X ו-Y, מתקבלת המשוואה של אליפסה (X^2/A^2)+(Y^2/B^2)=1, שזה המקום הגיאומטרי המבוקש.