MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · הנדסה אנליטית

ה8. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
19 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ה4. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

וידאו

ה5. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

וידאו

ה6. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

וידאו

ה7. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

וידאו

ה8. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

וידאו

ה9. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

וידאו

ה10. הנדסה אנליטת משוואת המעגל

וידאו

ו1. אנליטית האליפסה

וידאו

ו2. אנליטית האליפסה

וידאו

ו3. אנליטית התנך של האליפסה

וידאו

ו4. אנליטית התנך של האליפסה

וידאו

ו5. אנליטית התנך של האליפסה

וידאו

ו6. אנליטית האליפסה רדיוסי וקטור

וידאו

ו7. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

סיכום שיעור

  • בשיעור זה נלמד על סוגי היחסים בין שני מעגלים (זרים, משיקים, חותכים), כיצד להגדירם בעזרת משוואות המעגלים, ובעיקר כיצד להשוות בין שתי משוואות מעגלים באמצעות חיסור משוואות, בידוד משתנים והצבה לפתרון.
  • להבין את סוגי היחסים בין שני מעגלים (זרים, משיקים מבחוץ, חותכים, משיקים פנימית, זרים פנימית, מעגלים קונצנטריים).
  • לדעת לכתוב ולהשוות בין משוואות שני מעגלים.
  • לבצע חיסור בין משוואות מעגלים ולהפשט את המשוואות כדי לקבל משוואה ליניארית.
  • לבודד משתנה אחד (X או Y) ולבצע הצבה כדי לפתור את המערכת.
  • לזהות האם מערכת המשוואות מייצגת מעגלים זרים, משיקים או חותכים לפי מספר הפתרונות.
  • הגדרת סוגי יחסי המעגלים: הסבר על היחסים בין שני מעגלים במישור: מעגלים זרים, משיקים מבחוץ, חותכים, משיקים פנימית, זרים פנימית, וקונצנטריים.
  • השוואת משוואות מעגלים: למידה כיצד משווים בין שתי משוואות מעגלים כדי לבדוק את היחס ביניהם

תרגול קצר

זיהוי יחסי מעגלים על פי פתרונות

רמת קושי: קל

ממתין

נתונות שתי משוואות מעגלים: מעגל 1: (x-2)^2 + (y-3)^2 = 16 מעגל 2: (x-6)^2 + (y-3)^2 = 16 חשב את מספר נקודות החיתוך בין שני המעגלים וקבע האם הם זרים, משיקים או חותכים.

הנדסה אנליטיתמעגליםוקטורהמכנה משוואות

רמז: קח את משוואת המעגלים, חיסר אחת מהשנייה, פשט, בדה משתנה ובצע הצבה במעגל אחד.

פתרון מלא

תשובה סופית: שני המעגלים חותכים (2 נקודות חיתוך)

החיסור בין המשוואות יניב משוואה ליניארית אחרת: [(x-2)^2 + (y-3)^2 -16] - [(x-6)^2 + (y-3)^2 -16] = 0 פשט: (x-2)^2 - (x-6)^2 = 0 פיתוח הריבועים ונכפל הופכים ל: (x^2 -4x +4) - (x^2 -12x +36) = 0 פישוט: -4x +4 +12x -36 = 0 8x -32 = 0 8x = 32 x=4 הציב x=4 באחת המשוואות: (4-2)^2 + (y-3)^2 = 16 4 + (y-3)^2=16 (y-3)^2=12 ישנן שתי פתרונות ל y (y=3 + שורש 12 או y=3 - שורש 12) לכן שני המעגלים חותכים בשתי נקודות שונות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

זיהוי יחסי מעגלים

כיצד למצוא את יחס המעגלים על ידי משוואה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מספר נקודות החיתוך בין המעגלים / סוג היחס בין המעגלים

  2. נתון 1

    משוואת מעגל 1

  3. נתון 2

    משוואת מעגל 2

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לחסר את המשוואות כדי לקבל משוואה ליניארית, בדה משתנה, הצב ועשה ניתוח הפתרונות.

  5. נוסחה

    בצע חיסור ממושוואת מעגל 1 את משוואת מעגל 2

    (x- h1)^2+ (y- k1)^2- r1^2
  6. משוואה

    פתח סוגריים ובטל איברים

    פתח סוגריים ובטל איברים

  7. פישוט

    בחר משתנה ובדה אותו מהמשוואה הליניארית

    בחר משתנה ובדה אותו מהמשוואה הליניארית

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    חשב את מספר פתרונות המשוואה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

כתוב את שתי משוואות המעגלים

מה עושים

רשום את משוואות המעגלים המלאות

למה

כלול את כל הנתונים הדרושים לפתרון

שני מעגלים נתונים במשוואות כלליות בצורת ריבועית

2

זיהוי נתונים

חסר את המשוואות אחת מהשנייה

מה עושים

בצע חיסור ממושוואת מעגל 1 את משוואת מעגל 2

למה

לחיסור יש כוח לבטל ריבועים ולהפוך למשוואה ליניארית

(x - h1)^2 + (y - k1)^2 - r1^2 - [(x - h2)^2 + (y - k2)^2 - r2^2] = 0

נוסחה / הצבה

(x- h1)^2+ (y- k1)^2- r1^2

שים לב לביטול האיברים הריבועיים במהלך הפישוט

3

בניית משוואה

פשט את המשוואה לאחר החיסור

מה עושים

פתח סוגריים ובטל איברים

למה

מאפשר לקבל משוואה ליניארית במשתנים X ו-Y בלבד

פיתוח ביטויי הריבוע והפישוט מבטל X בריבוע ו-Y בריבוע

ודא שהחישובים מדויקים

4

פתרון

בודד משתנה אחד X או Y

מה עושים

בחר משתנה ובדה אותו מהמשוואה הליניארית

למה

הכנת תמונת הצבה למשוואת המעגל

בודד X או Y כדי לקבל ביטוי פשוט להצבה

בחר משתנה שקל יותר לבודד בהתאם למקדמים

5

פתרון

הצב את המשתנה במשוואת מעגל 1

מה עושים

הכנס ביטוי המשתנה למשוואת מעגל 1

למה

למצוא את נקודות החיתוך האפשריות

החלפת המשתנה לפני ביצוע פתרון משוואה ריבועית

בדוק שהמשוואה נכונה לאחר ההצבה

6

פתרון

פתור משוואה ונתח את הפתרונות

מה עושים

חשב את מספר פתרונות המשוואה

למה

מספר פתרונות קובע את סוג היחס בין המעגלים

0 פתרונות = זרים, 1 פתרון = משיקים, 2 פתרונות = חותכים

ראה אם משוואת ה-y בריבוע יוצרת פונקציה ממשית

פתרונות כלליים

  • זיהוי יחסי מעגלים על פי פתרונות: החיסור בין המשוואות יניב משוואה ליניארית אחרת: [(x-2)^2 + (y-3)^2 -16] - [(x-6)^2 + (y-3)^2 -16] = 0 פשט: (x-2)^2 - (x-6)^2 = 0 פיתוח הריבועים ונכפל הופכים ל: (x^2 -4x +4) - (x^2 -12x +36) = 0 פישוט: -4x +4 +12x -36 = 0 8x -32 = 0 8x = 32 x=4 הציב x=4 באחת המשוואות: (4-2)^2 + (y-3)^2 = 16 4 + (y-3)^2=16 (y-3)^2=12 ישנן שתי פתרונות ל y (y=3 + שורש 12 או y=3 - שורש 12) לכן שני המעגלים חותכים בשתי נקודות שונות.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.