הסבר על מציאת אברי סדרה הנדסית מתוך סכום חלקי של סדרה, והוכחה שהסדרה אכן הנדסית באמצעות ביטוי האיבר הכללי ובדיקת המנה בין איברים עוקבים.
לזכור את הקשר בין סכום סדרה לאיברים שלה
למצוא את האיבר ה-n בסדרה מתוך סכום הסדרה
להוכיח שסדרה היא הנדסית בעזרת חישוב המנה בין איברים עוקבים
לתרגל הצבה ושימוש בנוסחאות סדרות
הצבת n-1 בנוסחת הסכום: למצוא את סכום הסדרה עבור n-1 ע"מ לקבל ביטוי להשוואה.
מציאת האיבר a_n: הגדרת a_n כהפרש בין סכום n לסכום n-1, ופישוט הביטוי שהתקבל.
הוכחת הסדרה הנדסית: בדיקת המנה בין a_n ל-a_{n-1} על מנת להוכיח שהסדרה היא הנדסית.

תרגול קצר

חישוב איבר a_n מתוך סכום הסדרה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה עם סכום עד איבר ה-n הנתון כ-S_n = 2 כפול 3 בחזקת n. מצא את האיבר ה-n בסדרה a_n.

סדרותסכום סדרההוכחהסדרה הנדסית

רמז: השתמש ב-a_n = S_n - S_{n-1} והציב n ו-n-1 בנוסחה של S_n

פתרון מלא

תשובה סופית: a_n = 4 כפול 3 בחזקת (n-1)

a_n = S_n - S_{n-1} = 2 * 3^n - 2 * 3^{n-1} = 2 * 3^{n-1} (3 - 1) = 2 * 3^{n-1} * 2 = 4 * 3^{n-1}

הוכחת סדרה הנדסית באמצעות מנה איברים

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן a_n = 4 כפול 3 בחזקת (n-1), הוכח כי הסדרה היא הנדסית.

סדרה הנדסיתהוכחהחישוב מנה

רמז: חשב את המנה a_n חלקי a_{n-1} והראה שהיא קבועה.

פתרון מלא

תשובה סופית: הסדרה היא הנדסית עם מנה Q = 3

a_n / a_{n-1} = (4 * 3^{n-1}) / (4 * 3^{n-2}) = 3^{n-1 - (n-2)} = 3

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת סדרה הנדסית מתוך סכום הסדרה

איתור איבר הסדרה והוכחת הנדסיות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא איבר הסדרה a_n / הוכחה שהסדרה היא הנדסית
נתון 1
נתון 1
S_n = 2 * 3^n
רעיון
הרעיון המרכזי
מציאת a_n כהפרש סכומים, ואז בדיקת המנה בין a_n ו-a_{n-1} להוכחת הנדסיות.
נוסחה
יש את הנוסחה S_n = 2 * 3^n
S_n = 2 * 3^nS_n = 2 x 3^n
משוואה
נציב n-1 בנוסחה של S_n כדי לקבל S_{n-1}
נציב n-1 בנוסחה של S_n כדי לקבל S_{n-1}
S_n-1 = 2 * 3^(n-1)S_n-1 = 2 x 3^(n-1)
פישוט
a_n = 2 * 3^n - 2 * 3^{n-1}
a_n = 2 * 3^n - 2 * 3^{n-1}
a_n = 2 * 3^(n-1) * (3 - 1)a_n = 2 x 3^(n-1) x (3 - 1)
תוצאה
מסיימים בתשובה
חישוב המנה a_n לחלק ל-a_{n-1} ובדיקת קביעותה
Q = a_n / a_n-1 = 3Q = (a_n)/(a_n-1) = 3
בדיקה
בדיקה קצרה
- 1. הבנת משמעות סכום הסדרה S_n
- 2. הפעלת ההגדרה לחישוב איבר a_n
- זהירות: שכיחת הצבה של n-1 בנוסחת הסכום

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון נוסחת סכום הסדרה

מה עושים

יש את הנוסחה S_n = 2 * 3^n

למה

זו נקודת המוצא לחישובי האיבר a_n

נוסחה / הצבה

S_n = 2 * 3^nS_n = 2 x 3^n

בחירת שיטה

מציאת a_n מהסכום

מה עושים

a_n מוגדר כהפרש בין S_n ל-S_{n-1}

למה

כל איבר בסדרה הוא הסכום עד n פחות הסכום עד n-1

נוסחה / הצבה

a_n = S_n - S_n-1

השתמש בנוסחת ההפרש לחישוב האיבר.

בניית משוואה

הצבת הערך של S_{n-1}

מה עושים

נציב n-1 בנוסחה של S_n כדי לקבל S_{n-1}

למה

יש צורך בביטוי מפורש של סכום הסדרה עד n-1

נוסחה / הצבה

S_n-1 = 2 * 3^(n-1)S_n-1 = 2 x 3^(n-1)

החלף n ב-n-1 בנוסחה.

פתרון

חישוב a_n

מה עושים

a_n = 2 * 3^n - 2 * 3^{n-1}

למה

בשימוש בהגדרת a_n כהפרש סכומים

מוציאים גורם משותף לייעול החישוב

נוסחה / הצבה

a_n = 2 * 3^(n-1) * (3 - 1)a_n = 2 x 3^(n-1) x (3 - 1)

פיתחו והוציאו גורם משותף להקל על הפישוט.

פתרון

פישוט הביטוי

מה עושים

a_n = 4 * 3^{n-1}

למה

הסדרה מוצגת בצורת סכום גורמים ברורה ונוחה

נוסחה / הצבה

a_n = 4 * 3^(n-1)a_n = 4 x 3^(n-1)

בדיקה

הוכחת הנדסיות הסדרה

מה עושים

חישוב המנה a_n לחלק ל-a_{n-1} ובדיקת קביעותה

למה

מנה קבועה מגדירה סדרה הנדסית

נוסחה / הצבה

Q = a_n / a_n-1 = 3Q = (a_n)/(a_n-1) = 3

הכפלות וחזקות יבטיחו שהמנה היא מספר קבוע.

פתרונות כלליים

חישוב איבר a_n מתוך סכום הסדרה: a_n = S_n - S_{n-1} = 2 * 3^n - 2 * 3^{n-1} = 2 * 3^{n-1} (3 - 1) = 2 * 3^{n-1} * 2 = 4 * 3^{n-1}
הוכחת סדרה הנדסית באמצעות מנה איברים: a_n / a_{n-1} = (4 * 3^{n-1}) / (4 * 3^{n-2}) = 3^{n-1 - (n-2)} = 3

הפריט הקודם הפריט הבא

ב13. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל הוכחת סדרה הנדסית בעזרת סכום

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא איבר הסדרה a_n / הוכחה שהסדרה היא הנדסית

נתון 1

הרעיון המרכזי

יש את הנוסחה S_n = 2 * 3^n

נציב n-1 בנוסחה של S_n כדי לקבל S_{n-1}

a_n = 2 * 3^n - 2 * 3^{n-1}

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

נתון נוסחת סכום הסדרה

מציאת a_n מהסכום

הצבת הערך של S_{n-1}

חישוב a_n

פישוט הביטוי

הוכחת הנדסיות הסדרה

פתרונות כלליים