וידאו · אלגברה של הטריגונומטריה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א1. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א2. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א3. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א4. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן
א5. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א6. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א7. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א8. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
מצא ביטוי עבור סינוס 4 אלפא
רמת קושי: קל
השתמש בזהות הזווית הכפולה של הסינוס כדי לבטא sin 4α בעזרת sin α ו-cos α.
רמז: השתמש בזהות sin 2α = 2 sin α cos α פעמיים.
תשובה סופית: sin 4α = 4 sin α cos α (cos² α - sin² α)
ראשית נשתמש בזהות על sin 2α: sin 2α = 2 sin α cos α. כדי למצוא sin 4α נכתוב sin 4α = sin(2·2α) = 2 sin 2α cos 2α. נשתמש בזהויות המתאימות כדי להמיר את sin 2α ו-cos 2α: sin 2α = 2 sin α cos α, וקוסינוס 2α = cos² α - sin² α. לכן sin 4α = 2 · (2 sin α cos α) · (cos² α - sin² α) = 4 sin α cos α (cos² α - sin² α).
בטא cos 4α בנוסחאות קוסינוס בלבד
רמת קושי: בינוני
השתמש בזהויות הזווית הכפולה כדי לכתוב את cos 4α בביטוי המכיל רק cos α.
רמז: זכור ש-cos 2α יכול להיכתב כ-2 cos² α - 1 ושוב השתמש בזהות זו לחישוב cos 4α.
תשובה סופית: cos 4α = 8 cos^4 α - 8 cos² α + 1
cos 4α = cos 2·2α = 2 cos² 2α - 1. נציב cos 2α = 2 cos² α - 1. לכן: cos 4α = 2 (2 cos² α - 1)² - 1 = 2 (4 cos^4 α - 4 cos² α + 1) - 1 = 8 cos^4 α - 8 cos² α + 2 - 1 = 8 cos^4 α - 8 cos² α + 1.
איך לבטא sin 4α בעזרת sin α ו-cos α בלבד
זהות: sin 2α = 2 sin α cos αזהות: cos 2α = cos² α - sin² αנשתמש בזהות של סינוס של זווית כפולה פעמיים ולאחר מכן נבטא את המשתנים בעזרת sin α ו-cos α.
sin 2α = 2 sin α cos αcos 2α = cos² α - sin² α2 = 22 = ^2 - ^2נחליף את הביטויים המרכיבים בנוסחאות שיש לנו עבור זווית α.
sin 4α = 2 (2 sin α cos α)(cos² α - sin² α)4 = 2 (2 )(^2 - ^2 )נפשט את הביטוי לאחת משתי צורות פשוטות לכתיבה
sin 4α = 4 sin α cos α (cos² α - sin² α)4 = 4 (^2 - ^2 )קיבלנו ביטוי של sin 4α המבטא זאת בעזרת sin α ו-cos α בלבד.
sin 4α = 4 sin α cos α (cos² α - sin² α)4 = 4 (^2 - ^2 )השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נזכיר את הנוסחאות sin 2α ו-cos 2α.
למה
נשתמש בזהויות אלה למעבר מ-4α לצורות עם α.
sin 2α = 2 sin α cos α , cos 2α = cos² α - sin² α
נוסחה / הצבה
sin 2α = 2 sin α cos αcos 2α = cos² α - sin² α2 = 22 = ^2 - ^2פנינו נוסחאות המאפשרות פירוק זוויות כפולות
בחירת שיטה
מה עושים
נמצא כי sin 4α = sin (2·2α) ולכן נשתמש בזהות לסינוס של זווית כפולה.
למה
אפשר לפרק זאת לביטוי בעזרת sin 2α ו-cos 2α.
sin 4α = 2 sin 2α cos 2α
נוסחה / הצבה
sin 4α = 2 sin 2α cos 2α4 = 2 2 2שימוש חוזר בזווית כפולה
בניית משוואה
מה עושים
נחליף את הביטויים המרכיבים בנוסחאות שיש לנו עבור זווית α.
למה
כך נקבל ביטוי המכיל רק sin α ו-cos α.
נחליף sin 2α = 2 sin α cos α ו-cos 2α = cos² α - sin² α
נוסחה / הצבה
sin 4α = 2 (2 sin α cos α)(cos² α - sin² α)4 = 2 (2 )(^2 - ^2 )הכפלה של ביטויים מוכרים
פתרון
מה עושים
נפשט את הביטוי לאחת משתי צורות פשוטות לכתיבה
למה
כדי לקבל תשובה ברורה ונוחה לשימוש.
sin 4α = 4 sin α cos α (cos² α - sin² α)
נוסחה / הצבה
sin 4α = 4 sin α cos α (cos² α - sin² α)4 = 4 (^2 - ^2 )פישוט והכנה להמשכה
תשובה
מה עושים
קיבלנו ביטוי של sin 4α המבטא זאת בעזרת sin α ו-cos α בלבד.
למה
זה מאפשר לחשב או לשנות ביטויים ללא תלות בזווית כפולה בבירור.
sin 4α = 4 sin α cos α (cos² α - sin² α)
נוסחה / הצבה
sin 4α = 4 sin α cos α (cos² α - sin² α)4 = 4 (^2 - ^2 )זוהי הצורה המומלצת לשימוש