וידאו · אלגברה של הטריגונומטריה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א3. זהויות יסודיות בטריגונומטריה
א4. מעברים טריגונומטריים עם צירים ראשיים בעזרת נוסחא ובעזרת שיטת השם והסימן
א5. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א6. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א7. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
א8. זהויות טריגונומטריות של זווית כפולה
פישוט ביטוי עם טאנגוז כפול
רמת קושי: קל
פשטו את הביטוי \( \tan(2\alpha) \) באמצעות זהויות טריגונומטריות, הראו צעד אחר צעד את המעבר מהטנגנס של הזווית הכפולה לטאנגנס של הזווית הסרוגה.
רמז: השתמשו בזהות \( \tan(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \) והחליפו את \( \tan \alpha \) ב\( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
תשובה סופית: \( \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \)
\( \tan(2\alpha) = \frac{2 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 - \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \)
שלב אחר שלב מעבודה עם הזווית הכפולה להבנת ביטוי מפושט
זהות טאנגנס הזווית הכפולה \( (2) = (2 )/(1 - ^2 ) \)להחליף את טאנגנס הזווית בפונקציות סינוס וקוסינוס ולפשט את השבר המתקבל.
tan(2 alpha)= (2 sin alpha / cos alpha) divided by [1- (sin alpha / cos alpha)^2]= (2 sin alpha / cos alpha) / [1(2) = (2 ( )/( ))/(1 - ( ( )/( ) )^2)מציבים את הנתונים במשוואה.
כופלים את המונה והמכנה ומפשטים
ared alpha)הביטוי הסופי הוא \( \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \)
s sin squared alpha)השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נשתמש בזהות \( \tan(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \)
למה
זו זהות בסיסית המאפשרת מעבר מטאנגנס הזווית הכפולה לטאנגנס הזווית הסרוגה.
הביטוי מתחיל עם טאנגנס של זווית כפולה.
בחירת שיטה
מה עושים
מחליפים \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
למה
כי קל יותר לפשט ביטויים עם סינוס וקוסינוס
הזזה לייצוג אחר של הביטוי בעזרת הפונקציות הבסיסיות.
נוסחה / הצבה
tan alpha = sin alpha / cos alpha= ( )/( )לזכור שהחלפה זו תשמש לפישוט השבר.
בניית משוואה
מה עושים
מכניסים \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) לנוסחת הטאנגנס הכפול
למה
כדי לקבל ביטוי בפונקציות סינוס וקוסינוס בלבד
הביטוי הופך לשבר עם מחנה למכנה בפונקציות סינוס וקוסינוס.
נוסחה / הצבה
tan(2 alpha)= (2 sin alpha / cos alpha) divided by [1- (sin alpha / cos alpha)^2]= (2 sin alpha / cos alpha) / [1(2) = (2 ( )/( ))/(1 - ( ( )/( ) )^2)פתרון
מה עושים
כופלים את המונה והמכנה ומפשטים
למה
כדי להגיע לביטוי פשוט וברור יותר
שימוש בהכפלה בביטוי המשותף \( \cos^2 \alpha \) מוביל לפישוט.
נוסחה / הצבה
(2 sin alpha cos alpha) / (cos squared alpha minus sin squared alpha)(2 sin alpha cos alpha) / (cos^2 alpha - sin^2 alpha)(2 )/(^2 - ^2 )זכור שזה גם ביטוי מוכר של הסינוס של הזווית הכפולה.
תשובה
מה עושים
הביטוי הסופי הוא \( \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \)
למה
זהו ביטוי פשוט ונגיש להבנה
הגעת לפישוט המבוקש לאחר שימוש בזהויות.
נוסחה / הצבה
(2 sin alpha cos alpha) divided by (cos squared alpha minus sin squared alpha)(2 )/(^2 - ^2 )ניתן להשתמש בזהות זו לפישוט ביטויים נוספים.