הלימוד מתמקד בגזירת פונקציה המכילה שורש ובחישוב המשיק בנקודה נתונה. מוסבר כיצד לגזור נכון, לחשב שיפוע במשוואת משיק, ולבצע בקרה באמצעות מחשבון מדעי.
ללמוד לגזור פונקציות הכוללות שורש וריבוע.
לחשב את הנקודה והמשיק בנקודה נתונה.
להבין שימוש במשוואת המשיק y - y0 = m(x - x0).
ליישם בקרה באמצעות מחשבון לבדיקת נכונות חישוב הנגזרת והשיפוע.
גזירת פונקציה עם שורש: נלמד כיצד לגזור פונקציה מהצורה של 2 פעמים שורש של x בריבוע מינוס 3.
חישוב משיק בנקודה נתונה: נחשב את נקודת המגע בין הפונקציה למשיק ואת השיפוע בנקודה x=2 ונמצא את משוואת המשיק המתאימה.

תרגול קצר

חישוב הנגזרת ומציאת משוואת המשיק לפונקציה עם שורש

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = 2√(x² - 3). (א) חשב את f'(x). (ב) חשב את שיפוע המשיק בפונקציה בנקודה x=2. (ג) מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה x=2.

נגזרותמשוואת משיקשורשרמת 5 יח"ל

רמז: (א) השתמש בכלל השרשרת בשרשור עם השורש. (ב) הצב את x=2 בנגזרת. (ג) השתמש בנוסחה y - y0 = m(x - x0).

פתרון מלא

תשובה סופית: נגזרת: (2x) / √(x² - 3) שיפוע בנקודה x=2: 4 משוואת המשיק: y = 4x - 6

(א) f'(x) = 2 * [1 / (2√(x² - 3))] * 2x = (2x) / √(x² - 3). (ב) הצבת x=2: נחשב √(4 - 3) = √1 = 1. לכן f'(2) = (2*2)/1 = 4. (ג) ערך הפונקציה בנקודה x=2: f(2) = 2 * √(4 - 3) = 2*1 = 2. משוואת המשיק: y - 2 = 4(x - 2). פישוט: y - 2 = 4x - 8 => y = 4x - 6.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: משוואת המשיק לפונקציה כוללת שורש

חשבון נגזרת ומשוואת משיק בנקודה x=2

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הנגזרת של הפונקציה f'(x) / השיפוע בנקודה x=2, כלומר f'(2) / משוואת המשיק בנקודה x=2
נתון 1
נתון 1
f(x) = 2√(x² - 3)
נתון 2
נתון 2
נקודת x=2
רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב את ערך הפונקציה בנקודה ולהציב את הנגזרת כדי למצוא את שיפוע המשיק ואז לכתוב את משוואת המשיק
נוסחה
בחישוב את משוואת הישר שמשיק לגרף בנקודה.
y - 2 = 4(x - 2)y - y0 = m(x - x0)
משוואה
הציבו x=2 בנגזרת שחישבתם.
הציבו x=2 בנגזרת שחישבתם.
פישוט
הציבו x=2 בפונקציה המקורית f(x).
הציבו x=2 בפונקציה המקורית f(x).
תוצאה
מסיימים בתשובה
קבעו את הפונקציה והנקודה x=2.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה והנקודה

מה עושים

קבעו את הפונקציה והנקודה x=2.

למה

יש לדעת את הפונקציה והנקודה בה נחשב את המשיק.

הפונקציה היא f(x) = 2√(x² - 3), והנקודה לה נמצא את המשיק היא x=2.

בחירת שיטה

חשבית הנגזרת הכללית

מה עושים

גזור את הפונקציה לפי כלל השרשרת המתאים לשורש.

למה

הנגזרת מאפשרת למצוא את השיפוע בנקודה.

נגזרת של 2√(x² - 3) היא 2 כפול נגזרת השורש לפי כלל השרשרת.

נוסחה / הצבה

f'(x) = 2 * (1/(2 * sqrt(x^2 - 3))) * (2x)f'(x) = 2 * (1/(2√(x² - 3))) * (2x)f'(x) = 2 * (1)/(2x^(2)-3) * 2x

פשטו את הנוסחה לאחר הגזירה.

פתרון

חשב את הנגזרת בנקודה x=2

מה עושים

הציבו x=2 בנגזרת שחישבתם.

למה

כך נמצא את השיפוע של המשיק בנקודה.

הצבה בנגזרת נותנת f'(2) = (2*2)/√(4 - 3) = 4.

חישבו תחילה את הפנימיות של השורש.

פתרון

חישוב ערך הפונקציה בנקודה

מה עושים

הציבו x=2 בפונקציה המקורית f(x).

למה

נדרש נקודת העיגול (x0,y0) למשוואת המשיק.

f(2) = 2 √(4 - 3) = 2*1 = 2.

יש לחשב הערך המדויק כדי לבנות את משוואת המשיק.

בניית משוואה

כתיבת משוואת המשיק

מה עושים

בחישוב את משוואת הישר שמשיק לגרף בנקודה.

למה

משוואת המשיק מתארת את הישר במגע עם הגרף בנקודה.

משוואת המשיק היא y - 2 = 4(x - 2), משם מפשטים ל- y = 4x - 6.

נוסחה / הצבה

y - 2 = 4(x - 2)y - y0 = m(x - x0)

הקפידו על סדר פעולות בפישוט המשוואה.

פתרונות כלליים

חישוב הנגזרת ומציאת משוואת המשיק לפונקציה עם שורש: (א) f'(x) = 2 * [1 / (2√(x² - 3))] * 2x = (2x) / √(x² - 3). (ב) הצבת x=2: נחשב √(4 - 3) = √1 = 1. לכן f'(2) = (2*2)/1 = 4. (ג) ערך הפונקציה בנקודה x=2: f(2) = 2 * √(4 - 3) = 2*1 = 2. משוואת המשיק: y - 2 = 4(x - 2). פישוט: y - 2 = 4x - 8 => y = 4x - 6.

הפריט הקודם הפריט הבא

א3. ניגזרות רמה בסיסית - משוואת משיק טכניקה של גזירה ומקורות השיפוע

ניווט לפי נושאים

נגזרות רמה בסיסית

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הנגזרת של הפונקציה f'(x) / השיפוע בנקודה x=2, כלומר f'(2) / משוואת המשיק בנקודה x=2

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

בחישוב את משוואת הישר שמשיק לגרף בנקודה.

הציבו x=2 בנגזרת שחישבתם.

הציבו x=2 בפונקציה המקורית f(x).

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת הפונקציה והנקודה

חשבית הנגזרת הכללית

חשב את הנגזרת בנקודה x=2

חישוב ערך הפונקציה בנקודה

כתיבת משוואת המשיק

פתרונות כלליים