בשיעור זה נלמד כיצד לפתור תרגיל בסדרה חשבונית שבו ניתנים שלושה איברים עוקבים והסכום שלהם, ונמצא את שאר הנתונים בעזרת משוואות ואינדקסים.
לזהות איברים עוקבים בסדרה חשבונית
לייצג כל איבר בעזרת האיבר הראשון וההפרש הכללי
להרכיב משוואה עבור סכום איברים עוקבים
לפתור משוואות בסדרה חשבונית
להבין את תפקיד האינדקסים בייצוג האיברים בסדרה
הכרת הנתונים והבעיה: ישנם שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית שסכומם ידוע, ואנו מחפשים מיהם האיברים הללו.
ייצוג האיברים באמצעות משתנים: כל איבר בסדרה מוחשב לפי האיבר הראשון וההפרש הכללי משתמשים במשתנים A1 ו-d
כתיבת המשוואה לסכום ושלב הפתרון: הרכבת משוואה לסכום שלושת האיברים, בנוסח A1 + (A1 + d) + (A1 + 2d) = סכום הנתון, פתרון המשוואה

תרגול קצר

סכום שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית

רמת קושי: קל

ממתין

ניתנים שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית, סך כל שלושתם הוא 129. מצא את שלושת האיברים.

סדרה חשבוניתאיברים עוקביםמשוואות

רמז: ייצג כל איבר בעזרת a1 ו-d, וכתוב משוואה לסכום שלהם

פתרון מלא

תשובה סופית: הנתונים לא מספקים לקביעת ערכים ייחודיים; יש צורך במידע נוסף או בהנחות נוספות

נסמן את האיברים: a_n, a_n+1, a_n+2. לפי נוסחת איברים בסדרה חשבונית: a_n = a1 + (n-1)d אז האיברים הם: a_n = a1 + (n-1)d a_n+1 = a1 + nd a_n+2 = a1 + (n+1)d הסכום שלהם הוא: S = a_n + a_n+1 + a_n+2 = (a1 + (n-1)d) + (a1 + nd) + (a1 + (n+1)d) = 3a1 + (3n)d = 129 נדרש למצוא a1, n, d כך שהתוצאה מתקבלת. ניתן להניח ערך מתאים ל-n ולהמשיך לפתרון.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: סכום שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית

כיצד למצוא את שלושת האיברים בסדרה חשבונית שסכומם ידוע

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שלושת האיברים עצמם
נתון 1
נתון 1
סכום שלושת האיברים = 129
נתון 2
איברים עוקבים בסדרה חשבונית
רעיון
הרעיון המרכזי
למיין את האיברים לפי המיקומים שלהם עם משתנים, להרכיב משוואה של סכומם ולפתור.
נוסחה
נרשום את סכום שלושת האיברים בעזרת a1, d ו-n
S = 3a1 + 3n dS = 3a1 + (3n)dS = 3 a_1 + 3 n d
משוואה
פשטנו את המשוואה והצבנו את סך הסכום 129
פשטנו את המשוואה והצבנו את סך הסכום 129
3a1 + 3nd = 1293a1 + 3nd=1293 a_1 + 3 n d = 129
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
בדקו האם קיימים ערכים שמתאימים למשוואה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתוני הבעיה

מה עושים

שלושה איברים עוקבים וסכומם הוא 129

למה

זו הנקודה ההתחלתית לפתרון הבעיה

שלושת האיברים הם ברצף בסדרה והמספר 129 הוא סכומם הכולל

בחירת שיטה

ייצוג האיברים בעזרת משתנים

מה עושים

נסמן את האיבר הראשון בסדרה כ-a1 והפרש כללי כ-d

למה

כדי לסמן ולשלוט על משתנים שניתנים להשוואה

הביטוי של כל איבר הוא a_n = a1 + (n-1)d

בניית משוואה

כתיבת משוואת סכום האיברים

מה עושים

נרשום את סכום שלושת האיברים בעזרת a1, d ו-n

למה

לבטא את הסכום בצורה מתמטית נכונה

S = (a1 + (n-1)d) + (a1 + nd) + (a1 + (n+1)d)

נוסחה / הצבה

S = 3a1 + 3n dS = 3a1 + (3n)dS = 3 a_1 + 3 n d

פישוט המשוואה חשוב לפתיחה לפתרון

פתרון

פישוט המשוואה וחישוב

מה עושים

פשטנו את המשוואה והצבנו את סך הסכום 129

למה

כדי להשיג משוואה שניתן לפתור

3a1 + 3nd = 129. ללא מידע נוסף, נדרש לבחור ערך ל-n או להשתמש במידע נוסף

נוסחה / הצבה

3a1 + 3nd = 1293a1 + 3nd=1293 a_1 + 3 n d = 129

יש צורך בנתון נוסף לצמצום התשובה

בדיקה

בדיקת נכונות ויתכנות

מה עושים

בדקו האם קיימים ערכים שמתאימים למשוואה

למה

כדי לוודא פתרון הסתברותי או ספציפי

אפשר לנחש ערכים ל-n ולהמשיך בפתרון, אם לא מתקיים ערך ספציפי

כדאי להשתמש בנתונים נוספים כדי לפתור במדויק

תשובה

המסקנה

מה עושים

הבעיה פתורה מבחינה עקרונית אך חסר מידע להשלמה מדויקת

למה

כי יש שני נעלמים במשוואה אחת

יש צורך בערך נוסף או הנחות על a1 או d או n כדי למצוא את הערכים המדויקים

פתרונות כלליים

סכום שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית: נסמן את האיברים: a_n, a_n+1, a_n+2. לפי נוסחת איברים בסדרה חשבונית: a_n = a1 + (n-1)d אז האיברים הם: a_n = a1 + (n-1)d a_n+1 = a1 + nd a_n+2 = a1 + (n+1)d הסכום שלהם הוא: S = a_n + a_n+1 + a_n+2 = (a1 + (n-1)d) + (a1 + nd) + (a1 + (n+1)d) = 3a1 + (3n)d = 129 נדרש למצוא a1, n, d כך שהתוצאה מתקבלת. ניתן להניח ערך מתאים ל-n ולהמשיך לפתרון.

הפריט הקודם הפריט הבא

א10. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא שלושת האיברים עצמם

נתון 1

איברים עוקבים בסדרה חשבונית

הרעיון המרכזי

נרשום את סכום שלושת האיברים בעזרת a1, d ו-n

פשטנו את המשוואה והצבנו את סך הסכום 129

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתוני הבעיה

ייצוג האיברים בעזרת משתנים

כתיבת משוואת סכום האיברים

פישוט המשוואה וחישוב

בדיקת נכונות ויתכנות

המסקנה

פתרונות כלליים